пожалуйста реши.

Решаю все пять заданий. Сначала — короткие ответы, потом разбор: так видно, откуда что берётся.

Краткие ответы

1. \(D(f)=[0;\,2)\cup(2;\,+\infty)\) — при чтении \(\sqrt{2x}-1\). Если под корнем \(2x-1\), то \(D(f)=\left[\frac12;\,2\right)\cup(2;\,+\infty)\).
2. \(x=\dfrac{15}{17}\).
3. \(x\in\left[-\dfrac{37}{7};\,+\infty\right)\).
4. Блокнот — 5 леев, ручка — 2 лея.
5. \(x\in\mathbb{R}\) — подходит любое действительное число.

Разбор по шагам

№1. Область определения

На фото штрих корня короткий, поэтому читаю функцию так:

\[ f(x)=\frac{1}{x-2}+\sqrt{2x}-1 \]

Область определения — все \(x\), при которых выражение имеет смысл. Ограничений два:

• знаменатель не равен нулю: \(x-2\ne 0\), то есть \(x\ne 2\);
• подкоренное выражение неотрицательно: \(2x\ge 0\), то есть \(x\ge 0\).

\[ \begin{cases} x\ne 2,\\ x\ge 0 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad D(f)=[0;\,2)\cup(2;\,+\infty) \]

Точка \(2\) выколота (там деление на ноль), а \(0\) входит: \(\sqrt{0}\) существует. Слагаемое \(-1\) на область определения не влияет.

Если в вашем варианте штрих корня длиннее и под ним стоит \(2x-1\), то \(2x-1\ge 0\), откуда \(x\ge \frac12\), и \(D(f)=\left[\frac12;\,2\right)\cup(2;\,+\infty)\). Принцип тот же.

№2. Линейное уравнение

\[ 3(x-2)+4(0{,}5x+3)=2x+7(3-2x) \]

Раскрываю скобки:

\[ 3x-6+2x+12=2x+21-14x \]

Привожу подобные:

\[ 5x+6=21-12x \]

Переношу слагаемые с \(x\) влево, числа вправо:

\[ 5x+12x=21-6 \]

\[ 17x=15 \]

\[ x=\frac{15}{17} \]

Проверка: при \(x=\frac{15}{17}\) левая часть равна \(\frac{75}{17}+6=\frac{177}{17}\), правая \(21-\frac{180}{17}=\frac{177}{17}\) — совпало.

№3. Линейное неравенство

\[ 5(0{,}5x-4)+3x\le 0{,}25(4x-6)+8x \]

Раскрываю скобки:

\[ 2{,}5x-20+3x\le x-1{,}5+8x \]

\[ 5{,}5x-20\le 9x-1{,}5 \]

\[ 5{,}5x-9x\le 20-1{,}5 \]

\[ -3{,}5x\le 18{,}5 \]

Делю на \(-3{,}5\); при этом знак неравенства меняется:

\[ x\ge -\frac{18{,}5}{3{,}5}=-\frac{185}{35}=-\frac{37}{7} \]

Ответ: \(x\in\left[-\frac{37}{7};\,+\infty\right)\), то есть примерно \(x\ge -5{,}29\).

Проверка: при \(x=-5\) получается \(-47{,}5\le -46{,}5\) — верно, а при \(x=-6\) уже \(-53\le -55{,}5\) — неверно, значит граница найдена правильно.

№4. Задача

Пусть \(b\) — цена блокнота, \(p\) — цена ручки (в леях). По условию:

\[ \begin{cases} 3b+7p=29,\\ 5b+4p=33. \end{cases} \]

Умножу первое уравнение на 5, второе на 3:

\[ \begin{cases} 15b+35p=145,\\ 15b+12p=99. \end{cases} \]

Вычитаю из первого второе:

\[ 23p=46 \quad\Rightarrow\quad p=2 \]

Тогда \(3b=29-7\cdot 2=15\), откуда \(b=5\).

Проверка: \(3\cdot 5+7\cdot 2=15+14=29\); \(5\cdot 5+4\cdot 2=25+8=33\). Всё сходится.

Ответ: блокнот стоит 5 леев, ручка — 2 лея.

№5. Совокупность неравенств

Квадратная скобка — это совокупность: нужно, чтобы выполнялось хотя бы одно неравенство, а ответ — объединение решений. Фигурная скобка означала бы систему, там решения пересекаются.

Первое неравенство:

\[ 5(x-4)+3x\le -\frac13(-6x+6) \]

\[ 5x-20+3x\le 2x-2 \]

\[ 8x-20\le 2x-2 \]

\[ 6x\le 18 \]

\[ x\le 3 \]

Второе неравенство:

\[ 2x-(1-x)\ge 2(0{,}5x+2) \]

\[ 2x-1+x\ge x+4 \]

\[ 3x-1\ge x+4 \]

\[ 2x\ge 5 \]

\[ x\ge 2{,}5 \]

Объединяю: \((-\infty;3]\cup[2{,}5;+\infty)=\mathbb{R}\), потому что промежутки перекрываются (\(2{,}5\le 3\)).

Ответ: \(x\in\mathbb{R}\).

Если бы стояла фигурная скобка (система), пришлось бы брать пересечение и получилось бы \([2{,}5;3]\) — полезно запомнить эту разницу.

Что запомнить

• Область определения: знаменатель \(\ne 0\), под корнем чётной степени \(\ge 0\).
• Уравнение и неравенство решаются раскрытием скобок и приведением подобных.
• При делении неравенства на отрицательное число знак меняется.
• Система — «и» (пересечение), совокупность — «или» (объединение).