Задание 3. Решите систему уравнений: 1) {3x²−8x=y, 9x−24=y; 2) {7x²+y=14, 2x²−y=22; 3) {2x²+y²=59, 10x²+5y²=59x.

Краткий ответ

1. \((3;3)\), \(\left(\frac{8}{3};0\right)\)

2. \((2;-14)\), \((-2;-14)\)

3. \((5;3)\), \((5;-3)\)

Как решать

1) В обеих частях уже выражен \(y\), поэтому приравниваем:

\[ 3x^2-8x=9x-24 \]

\[ 3x^2-17x+24=0 \]

Дискриминант:

\[ D=(-17)^2-4\cdot 3\cdot 24=289-288=1 \]

\[ x=\frac{17\pm 1}{6} \]

Значит, \(x=3\) или \(x=\frac{8}{3}\). Теперь находим \(y\) по формуле \(y=9x-24\):

\[ x=3:\quad y=27-24=3 \]

\[ x=\frac83:\quad y=24-24=0 \]

2) Складываем уравнения: \(y\) и \(-y\) взаимно уничтожаются:

\[ 7x^2+y+2x^2-y=14+22 \]

\[ 9x^2=36 \]

\[ x^2=4,\qquad x=\pm 2 \]

Подставляем в первое уравнение:

\[ y=14-7x^2=14-7\cdot 4=-14 \]

Получаем две пары: \((2;-14)\) и \((-2;-14)\).

3) Замечаем, что левая часть второго уравнения в 5 раз больше левой части первого:

\[ 10x^2+5y^2=5(2x^2+y^2) \]

Так как \(2x^2+y^2=59\), то:

\[ 10x^2+5y^2=5\cdot 59=295 \]

По второму уравнению это равно \(59x\), поэтому:

\[ 59x=295 \]

\[ x=5 \]

Теперь подставляем \(x=5\) в первое уравнение:

\[ 2\cdot 25+y^2=59 \]

\[ 50+y^2=59 \]

\[ y^2=9 \]

\[ y=\pm 3 \]

Значит, решения: \((5;3)\) и \((5;-3)\).

Главный принцип: в системе сначала выбирают способ исключить переменную — подстановкой, сложением уравнений или заметив пропорциональность. После нахождения \(x\) обязательно находят \(y\) и проверяют пары в исходных уравнениях.