Контрольная работа №2 «Функции и их графики» Вариант 1 1. Дано уравнение функции y = 3x² + 5x − 8 1) Принадлежат ли графику функции точки

Ответ (Вариант 1): 1) обе указанные точки не принадлежат графику; 2) вершина \(\left(-\frac56;-\frac{121}{12}\right)\); 3) функция убывает на \(\left(-\infty;-\frac56\right]\) и возрастает на \(\left[-\frac56;+\infty\right)\); 4) нули: \(x=1\), \(x=-\frac83\); 5) точки пересечения: \((1;0)\), \((2;14)\). 2. А) вершина \((2;0)\), ветви вниз; Б) график с «отражением» части параболы вверх. 3. \(D(y)=(-\infty;0)\cup(0;2]\).

На фото дальше начинается Вариант 2, но он обрезан; ниже решаю полностью видимый Вариант 1.

---

1. Функция \(y=3x^2+5x-8\)

1) Принадлежность точек

Точка принадлежит графику, если при подстановке её \(x\) получается её \(y\).

Для \((-2;-10)\): \[ y(-2)=3\cdot(-2)^2+5\cdot(-2)-8=12-10-8=-6. \] Получилось \(-6\), а не \(-10\), значит точка не принадлежит.

Для \((6;132)\): \[ y(6)=3\cdot6^2+5\cdot6-8=108+30-8=130. \] Получилось \(130\), а не \(132\), значит и эта точка не принадлежит.

Вывод: обе точки не принадлежат графику.

2) Вершина параболы

Для \(y=ax^2+bx+c\) абсцисса вершины: \[ x_0=-\frac{b}{2a}. \] Здесь \(a=3\), \(b=5\): \[ x_0=-\frac{5}{2\cdot3}=-\frac56. \] Подставляем: \[ y_0=3\left(-\frac56\right)^2+5\left(-\frac56\right)-8 =\frac{25}{12}-\frac{25}{6}-8 =-\frac{121}{12}. \] То есть \[ \left(-\frac56;-\frac{121}{12}\right) \quad\text{или}\quad \left(-\frac56;-10\frac1{12}\right). \]

3) Промежутки возрастания и убывания

Коэффициент \(a=3>0\), значит ветви параболы направлены вверх, а в вершине — минимум.

Поэтому:

• при \(x<-\frac56\) функция убывает;
• при \(x>-\frac56\) функция возрастает.

Можно записать: \[ x\in\left(-\infty;-\frac56\right] — \text{убывает}, \] \[ x\in\left[-\frac56;+\infty\right) — \text{возрастает}. \]

4) Нули функции

Нули — это значения \(x\), при которых \(y=0\): \[ 3x^2+5x-8=0. \] Дискриминант: \[ D=5^2-4\cdot3\cdot(-8)=25+96=121. \] Корни: \[ x_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt{121}}{2\cdot3} =\frac{-5\pm11}{6}. \] Получаем: \[ x_1=\frac{6}{6}=1, \qquad x_2=\frac{-16}{6}=-\frac83. \]

Нули функции: \(x=1\) и \(x=-\frac83\).

5) Пересечение с прямой \(y=14x-14\)

Приравниваем функции: \[ 3x^2+5x-8=14x-14. \] Переносим всё в одну сторону: \[ 3x^2+5x-8-14x+14=0, \] \[ 3x^2-9x+6=0. \] Делим на \(3\): \[ x^2-3x+2=0. \] Корни: \[ x=1,\qquad x=2. \] Находим \(y\) по уравнению прямой:

• при \(x=1\): \(y=14\cdot1-14=0\);
• при \(x=2\): \(y=14\cdot2-14=14\).

Точки пересечения: \((1;0)\) и \((2;14)\).

Проверка: обе точки действительно лежат и на параболе, и на прямой.

---

2. Построение графиков

А) \(y=-(x-2)^2\)

Это парабола \(y=-x^2\), сдвинутая вправо на \(2\).

• вершина: \((2;0)\);
• ветви направлены вниз;
• ось симметрии: \(x=2\).

Хорошие точки для построения:

\(x\)	0	1	2	3	4
\(y\)	\(-4\)	\(-1\)	\(0\)	\(-1\)	\(-4\)

График касается оси \(Ox\) в точке \((2;0)\) и уходит ветвями вниз.

Б) \(y=\left|-x^2+5x-6\right|\)

Сначала строим внутреннюю параболу: \[ q(x)=-x^2+5x-6. \] Её нули: \[ -x^2+5x-6=0 \Rightarrow x^2-5x+6=0 \Rightarrow x=2,\ x=3. \] Вершина: \[ x_0=\frac{5}{2}=2{,}5, \] \[ q(2{,}5)=-6{,}25+12{,}5-6=0{,}25. \] То есть у внутренней параболы вершина \(\left(2{,}5;0{,}25\right)\).

Модуль отражает все части графика, находящиеся ниже оси \(Ox\), вверх. Поэтому части при \(x<2\) и \(x>3\), которые были ниже оси, поднимаются вверх, а «арка» между \(x=2\) и \(x=3\) остаётся.

Точки для графика \(y=|q(x)|\):

\(x\)	0	1	2	2,5	3	4	5
\(y\)	6	2	0	\(0{,}25\)	0	2	6

Получается график с двумя «ветвями» вверх и небольшой аркой между \(x=2\) и \(x=3\).

---

3. Область определения функции

\[ y=\frac{\sqrt{2-x}}{3x^2}. \]

Нужны два условия:

1. Под корнем выражение неотрицательно: \[ 2-x\ge0 \Rightarrow x\le2. \]

2. Знаменатель не равен нулю: \[ 3x^2\ne0 \Rightarrow x\ne0. \]

Объединяем: \[ D(y)=(-\infty;0)\cup(0;2]. \]

---

Что важно понять для похожих заданий: точка принадлежит графику, если её координаты удовлетворяют уравнению; вершина параболы ищется по \(x_0=-\frac{b}{2a}\); нули — это корни \(f(x)=0\); пересечения двух графиков — решение \(f(x)=g(x)\); модуль отражает отрицательные значения функции вверх; в области определения проверяют корень и знаменатель.