Орнда
Сверь числа и знаки с фото.
Төмендегі теңдеулерді шешіңдер (8.2—8.5): 8.4. 1) \(x^2-(\sqrt{3}+1)x+\sqrt{3}=0\);
Түбірлері төменде берілген сандар болатын квадрат теңдеулер құрыңдар (8.6—8.8): 8.6. 1) \(-5\) және \(-2\); 2) \(-7\) және \(2\); 3) \(2\frac{2}{7}\) және \(3\); 4) \(-5{,}4\) және \(8\); 5) \(1{,}2\) және \(4{,}5\); 6) \(5\) және \(23{,}2\).
Суретте 8.6 ерекше белгіленген, оның 4) және 6) пункттеріне құсбелгі қойылған; 8.4-тің 1) пункті де қоршалған. Соларды негізге алып, 8.6-ның барлық пункттерін және 8.4(1)-ді қарастырамын.
Қысқа жауап:
8.6:
- \(x^2+7x+10=0\);
- \(x^2+5x-14=0\);
- \(7x^2-37x+48=0\);
- \(5x^2-13x-216=0\);
- \(10x^2-57x+54=0\);
- \(5x^2-141x+580=0\).
8.4 1) \(x_1=1,\ x_2=\sqrt3\).
Негізгі принцип. Егер \(x_1\) және \(x_2\) сандары квадрат теңдеудің түбірлері болса, онда теңдеуді былай құруға болады: \[ (x-x_1)(x-x_2)=0, \] яғни \[ x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0. \] Бұл — Виет теоремасына кері тәсіл: түбірлердің қосындысы коэффициентке, көбейтіндісі бос мүшеге айналады. Коэффициенттер бөлшек болмас үшін теңдеудің екі жағын қажетті санға көбейтуге болады.
8.6 4) толық шешуі: \[ x_1=-5{,}4,\quad x_2=8. \] \[ x_1+x_2=-5{,}4+8=2{,}6,\qquad x_1x_2=-5{,}4\cdot8=-43{,}2. \] Сондықтан \[ x^2-2{,}6x-43{,}2=0. \] Бөлшектен құтылу үшін 5-ке көбейтеміз: \[ 5x^2-13x-216=0. \]
8.6 6) толық шешуі: \[ x_1=5,\quad x_2=23{,}2. \] \[ x_1+x_2=5+23{,}2=28{,}2,\qquad x_1x_2=5\cdot23{,}2=116. \] \[ x^2-28{,}2x+116=0. \] 5-ке көбейткенде: \[ 5x^2-141x+580=0. \]
8.6 3) мысалындағы бөлшектер: \[ 2\frac{2}{7}=\frac{16}{7},\quad x_1+x_2=\frac{16}{7}+3=\frac{37}{7},\quad x_1x_2=\frac{16}{7}\cdot3=\frac{48}{7}. \] \[ x^2-\frac{37}{7}x+\frac{48}{7}=0 \quad\Rightarrow\quad 7x^2-37x+48=0. \]
8.4 1) шешуі: \[ x^2-(\sqrt3+1)x+\sqrt3=0. \] Виет бойынша қосынды \(\sqrt3+1\), көбейтінді \(\sqrt3\). Бұл шартты \(1\) және \(\sqrt3\) сандары қанағаттандырады. Топтап жіктеу арқылы да көруге болады: \[ x^2-\sqrt3x-x+\sqrt3=x(x-\sqrt3)-(x-\sqrt3)=(x-1)(x-\sqrt3). \] Демек, \[ x_1=1,\quad x_2=\sqrt3. \]
Тексеру: \[ 5\cdot8^2-13\cdot8-216=320-104-216=0, \] \[ 5\cdot5^2-141\cdot5+580=125-705+580=0, \] \[ 1^2-(\sqrt3+1)\cdot1+\sqrt3=1-\sqrt3-1+\sqrt3=0. \] Тексеру дұрыс екенін көрсетеді.
