Контрольная работа по геометрии. 11 класс Вариант 2. № 1. Осевое сечение цилиндра — квадрат, диагональ которого 4 см.

Краткие ответы

1. \(S_{\text{полн}}=12\pi\ \text{см}^2\). Если нужна только боковая поверхность: \(S_{\text{бок}}=8\pi\ \text{см}^2\).
2. а) \(S_{\text{сеч}}=12\sqrt3\ \text{см}^2\); б) \(S_{\text{бок}}=24\sqrt3\pi\ \text{см}^2\).
3. \(d=\dfrac{3\sqrt{19}}{2}\ \text{см}\).

Как это получается

№ 1. В осевом сечении цилиндра стороны равны \(h\) и \(2r\). По условию это квадрат, значит
\[ h=2r=a. \] Диагональ квадрата: \[ a\sqrt2=4 \quad\Rightarrow\quad a=\frac{4}{\sqrt2}=2\sqrt2. \] Тогда \[ r=\frac a2=\sqrt2,\qquad h=2\sqrt2. \] Площадь полной поверхности: \[ S_{\text{полн}}=2\pi r^2+2\pi rh =2\pi\cdot2+2\pi\cdot\sqrt2\cdot2\sqrt2 =4\pi+8\pi=12\pi. \]

№ 2. Пусть \(l\) — образующая. Угол между образующей и плоскостью основания — это угол между \(l\) и её проекцией \(r\). Поэтому \[ \cos30^\circ=\frac{r}{l} \quad\Rightarrow\quad l=\frac{6}{\cos30^\circ} =\frac{6}{\sqrt3/2}=4\sqrt3. \]

б) Площадь боковой поверхности конуса: \[ S_{\text{бок}}=\pi r l =\pi\cdot6\cdot4\sqrt3 =24\sqrt3\pi. \]

а) Сечение через две образующие — равнобедренный треугольник со сторонами \(l,l\) и углом \(60^\circ\) между ними: \[ S_{\text{сеч}}=\frac12 l^2\sin60^\circ =\frac12\cdot48\cdot\frac{\sqrt3}{2} =12\sqrt3. \]

№ 3. В треугольнике \(ABC\): \[ AB^2+BC^2=4^2+3^2=25=AC^2, \] значит треугольник прямоугольный, а его гипотенуза \(AC=5\). Радиус описанной около него окружности: \[ r_{\text{сеч}}=\frac{AC}{2}=\frac52. \] Сечение сферы плоскостью — окружность. Если \(d\) — расстояние от центра сферы до плоскости, то \[ R^2=d^2+r_{\text{сеч}}^2. \] Отсюда \[ d=\sqrt{R^2-r_{\text{сеч}}^2} =\sqrt{7^2-\left(\frac52\right)^2} =\sqrt{49-\frac{25}{4}} =\frac{\sqrt{171}}{2} =\frac{3\sqrt{19}}{2}. \]