Решить
Сверь числа и знаки с фото.
Тест «Свойства тригонометрических функций»
Какая функция возрастает на промежутке \([-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n)\)? а) \(y=\sin x\) б) \(y=\cos x\) в) \(y=\mathrm{tg}\,x\) г) \(y=\mathrm{ctg}\,x\)
Выберите функцию, которая монотонно убывает на всей области определения а) \(y=\sin x\) б) \(y=\cos x\) в) \(y=\mathrm{tg}\,x\) г) \(y=\mathrm{ctg}\,x\)
Область определения какой функции \((-\frac{\pi}{2}+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n)\)? а) \(y=\sin x\) б) \(y=\cos x\) в) \(y=\mathrm{tg}\,x\) г) \(y=\mathrm{ctg}\,x\)
Наибольшее значение функции равно 1. Для каких функций это утверждение верно? а) \(y=\cos x\) и \(y=\mathrm{ctg}\,x\) б) \(y=\sin x\) и \(y=\cos x\) в) \(y=\mathrm{tg}\,x\) и \(y=\cos x\) г) \(y=\mathrm{tg}\,x\) и \(y=\mathrm{ctg}\,x\)
Функция положительна на промежутке \((-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n)\) а) \(y=\sin x\) б) \(y=\cos x\) в) \(y=\mathrm{tg}\,x\) г) \(y=\mathrm{ctg}\,x\)
Область определения функции – множество всех действительных чисел, кроме чисел \(\pi n, n\in Z\). Для какой функции это утверждение верно? а) \(y=\sin x\) б) \(y=\cos x\) в) \(y=\mathrm{tg}\,x\) г) \(y=\mathrm{ctg}\,x\)
Какие утверждения верны для функции \(y=\sin x\) а) Область значений \((-\infty;+\infty)\) б) Функция убывает на промежутке \([\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{3\pi}{2}+2\pi n]\) в) Функция четная г) Период функции \(T=2\pi\)
Какие утверждения верны для функции \(y=\cos x\) а) Функция убывает на промежутке \([\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{3\pi}{2}+2\pi n]\) б) Период функции \(T=\pi\) в) Функция четная г) Область значений \([-1;1]\)
Какие утверждения верны для функции \(y=\mathrm{tg}\,x\)? а) Наименьшее значение функции равно -1 б) Функция монотонно убывает [обрезано]
в) Функция равна 0 при \(x=\pi n\) г) График симметричен относительно начала координат
- Какие утверждения верны для функции \(y=\mathrm{ctg}\,x\)? а) Область определения – множество всех действительных чисел, кроме чисел \(\pi n, n\in Z\) б) Функция монотонно убывает в) Функция четная г) Область значений \((-\infty;\infty)\)
Краткие ответы
1 — а; 2 — г; 3 — в; 4 — б; 5 — б; 6 — г; 7 — б, г; 8 — в, г; 9 — в, г; 10 — а, б, г.
Четыре функции — четыре набора свойств
- \(y=\sin x\): \(D=\mathbb{R}\), \(E=[-1;1]\), нечётная, \(T=2\pi\); нули \(x=\pi n\); возрастает на \([-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n]\), убывает на \([\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{3\pi}{2}+2\pi n]\).
- \(y=\cos x\): \(D=\mathbb{R}\), \(E=[-1;1]\), чётная, \(T=2\pi\); нули \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n\); убывает на \([2\pi n;\pi+2\pi n]\), возрастает на \([\pi+2\pi n;2\pi+2\pi n]\).
- \(y=\mathrm{tg}\,x\): \(D\): \(x\ne\frac{\pi}{2}+\pi n\), \(E=\mathbb{R}\), нечётная, \(T=\pi\); нули \(x=\pi n\); возрастает на каждом интервале \((-\frac{\pi}{2}+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n)\).
- \(y=\mathrm{ctg}\,x\): \(D\): \(x\ne\pi n\), \(E=\mathbb{R}\), нечётная, \(T=\pi\); нули \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n\); убывает на каждом интервале \((\pi n;\pi+\pi n)\).
Как получаются ответы
«Шаг» в записи промежутка подсказывает функцию. У sin и cos период \(2\pi\), у tg и ctg — \(\pi\), поэтому в их стандартных промежутках стоят \(2\pi n\) и \(\pi n\) соответственно.
- №1: на промежутке \( [-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n) \) синус растёт от \(-1\) до \(1\) — ответ а. (Формально tg здесь тоже возрастает, но запись с шагом \(2\pi n\) — стандартная «метка» синуса.)
- №3: tg не определён там, где \(\cos x=0\), то есть при \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n\); его область определения — объединение интервалов \((-\frac{\pi}{2}+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n)\). Ответ в.
- №6: ctg не определён там, где \(\sin x=0\), то есть при \(x=\pi n\). Ответ г.
Область значений. У sin и cos это \([-1;1]\), поэтому наибольшее значение равно 1, а наименьшее \(-1\). У tg и ctg — все действительные числа, ни наибольшего, ни наименьшего нет. Отсюда №4 — б; №7а и №9а неверны, №10г верен.
Чётность. \(\cos x\) — чётная, а sin, tg, ctg — нечётные. Значит, №7в неверно, №8в верно, №9г верно (график нечётной функции симметричен началу координат), №10в неверно.
Монотонность. Sin убывает на \([\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{3\pi}{2}+2\pi n]\) → №7б верно. Cos на таком же промежутке не монотонен: на \([\frac{\pi}{2};\pi]\) убывает, на \([\pi;\frac{3\pi}{2}]\) возрастает → №8а неверно. Tg возрастает → №9б неверно. Ctg убывает на каждом промежутке области определения → №2 г и №10б верно.
Нули и знаки. \(\mathrm{tg}\,x=0\) при \(x=\pi n\) → №9в верно. \(\cos x>0\) на \((-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n)\) → №5 б.
Проверка
- №5: при \(x=0\) имеем \(\cos 0=1>0\), а \(\sin 0=0\), \(\mathrm{tg}\,0=0\); при \(x=-\frac{\pi}{4}\) синус и тангенс отрицательны. Подходит только cos.
- №8а: \(\cos\frac{\pi}{2}=0\), \(\cos\pi=-1\), \(\cos\frac{3\pi}{2}=0\) — сначала убывание, потом возрастание, значит на всём промежутке функция не убывает.
- №10: область определения \(x\ne\pi n\), убывает на каждом интервале, область значений — все числа, чётной не является. Верно: а, б, г.
