Задание 5. Решите неравенство: 1) (2−x)(x²−4)≥0;

Кратко

1. \(x\in(-\infty;-2]\cup\{2\}\)
2. \(x\in(-\infty;-8]\cup\{6\}\)
3. \(x\in(-\infty;-3]\cup\{5\}\cup[8;+\infty)\)
4. \(x\in[-9;-5]\cup[4;6]\)
5. \(x\in[-4;1]\cup\{8\}\)

Как решать такие неравенства

Нужно разложить каждый квадратный трёхчлен на множители, отметить все корни на числовой прямой и расставить знаки. Если множитель стоит в чётной степени, например \((x-a)^2\), то знак при переходе через \(a\) не меняется. Но сама точка \(a\) может быть решением, потому что в ней произведение равно нулю.

Разбор

1. \[ (2-x)(x^2-4)=-(x-2)^2(x+2) \] Неравенство \(\ge 0\) равносильно \[ (x-2)^2(x+2)\le 0. \] Квадрат неотрицателен, поэтому подходит \(x\le -2\), а также отдельно \(x=2\).

2. \[ (6-x)(x^2+2x-48)=-(x-6)^2(x+8) \] Аналогично: \[ (x-6)^2(x+8)\le 0. \] Значит, \(x\le -8\) или \(x=6\).

3. \[ x^2-2x-15=(x-5)(x+3), \] \[ x^2-13x+40=(x-5)(x-8). \] Произведение: \[ (x-5)^2(x+3)(x-8)\ge 0. \] Знак определяет \((x+3)(x-8)\). Получаем \(x\le -3\) или \(x\ge 8\), плюс отдельная точка \(x=5\), где произведение равно нулю.

4. \[ x^2-x-30=(x-6)(x+5), \] \[ x^2+5x-36=(x-4)(x+9). \] Тогда \[ (x-6)(x+5)(x-4)(x+9)\le 0. \] Корни в порядке возрастания: \(-9,-5,4,6\). Знаки на промежутках: \[ +,\ -,\ +,\ -,\ +. \] Берём промежутки со знаком минус: \[ [-9;-5]\cup[4;6]. \]

5. \[ x^2-4x-32=(x-8)(x+4), \] \[ x^2-9x+8=(x-1)(x-8). \] Получаем \[ (x-8)^2(x+4)(x-1)\le 0. \] Квадрат не влияет на знак, поэтому \[ (x+4)(x-1)\le 0, \] то есть \[ -4\le x\le 1. \] Кроме того, при \(x=8\) произведение равно нулю, значит эта точка тоже входит в ответ.