1. Множества. Дано множество A = {2, 5, 8, 11, 14}. а) Запишите характеристическое свойство элементов множества.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Статистика • ВАРИАНТ 1

1. Множества. Дано множество $A = \{2, 5, 8, 11, 14\}$.
• а) Запишите характеристическое свойство элементов множества.
• б) Верны ли утверждения: $5 \in A$; $7 \in A$; $\{8, 14\} \subset A$?

2. Дисперсия и отклонение. Кондитерская за 6 дней выпекала торты: 7, 9, 6, 8, 5, 7.
• а) Найдите среднее арифметическое этого ряда.
• б) Составьте таблицу отклонений и найдите дисперсию.
• в) Вычислите стандартное отклонение (округлите до сотых).

3. Анализ данных. Результаты выстрелов первого стрелка: 8, 9, 9, 10, 9. Второго: 6, 10, 7, 10, 12. Среднее равно 9. Не выполняя полных расчетов дисперсии, определите, у какого стрелка стандартное отклонение будет больше. Опираясь на смысл отклонения, объясните ответ.

Answer

На фото — самостоятельная работа из трёх заданий. Решение по всем пунктам:

Кратко

1. $A=\{x\in\mathbb N\mid x=3k-1,\ k=1,2,3,4,5\}$, то есть натуральные числа с остатком $2$ при делении на $3$, не большие $14$.
$5\in A$ — верно; $7\in A$ — неверно; $\{8,14\}\subset A$ — верно.

2. Среднее арифметическое: $7$.
Дисперсия: $D=\frac53\approx1{,}67$.
Стандартное отклонение: $\sigma\approx1{,}29$.

3. Стандартное отклонение больше у второго стрелка.

Разбор

1. Множества

Элементы множества:
$$
A=\{2,5,8,11,14\}.
$$
Каждое следующее число на $3$ больше предыдущего:
$$
2,\ 2+3=5,\ 5+3=8,\ 8+3=11,\ 11+3=14.
$$
Поэтому характеристическое свойство можно записать так:
$$
A=\{3k-1\mid k=1,2,3,4,5\}.
$$

Проверяем утверждения:

$5\in A$ — да, число $5$ есть в множестве;

$7\in A$ — нет, числа $7$ в множестве нет;

$\{8,14\}\subset A$ — да, оба числа $8$ и $14$ входят в $A$.

2. Дисперсия и стандартное отклонение

Дан ряд:
$$
7,\ 9,\ 6,\ 8,\ 5,\ 7.
$$

Среднее арифметическое:
$$
\bar x=\frac{7+9+6+8+5+7}{6}=\frac{42}{6}=7.
$$

Таблица отклонений:

$x_i$ |
7 |
9 |
6 |
8 |
5 |
7 |

$x_i-\bar x$ |
0 |
2 |
−1 |
1 |
−2 |
0 |

$(x_i-\bar x)^2$ |
0 |
4 |
1 |
1 |
4 |
0 |

Сумма квадратов отклонений:
$$
0+4+1+1+4+0=10.
$$

Дисперсия:
$$
D=\frac{10}{6}=\frac53\approx1{,}67.
$$

Стандартное отклонение:
$$
\sigma=\sqrt{D}=\sqrt{\frac53}\approx1{,}29.
$$

3. У какого стрелка разброс больше

У первого стрелка результаты:
$$
8,\ 9,\ 9,\ 10,\ 9.
$$
У второго:
$$
6,\ 10,\ 7,\ 10,\ 12.
$$

У обоих среднее равно $9$. Но у второго стрелка значения сильнее отходят от среднего: есть $6$ и $12$, то есть отклонения до $\pm3$. У первого стрелка отклонения только $0$ или $\pm1$.

Стандартное отклонение показывает типичный разброс значений около среднего. Чем сильнее значения удалены от среднего, тем больше стандартное отклонение. Поэтому:

$$
\sigma_{\text{второго}}>\sigma_{\text{первого}}.
$$

Ответ: у второго стрелка стандартное отклонение больше.

Для проверки: у первого $\sigma\approx0{,}63$, у второго $\sigma\approx2{,}19$.

\(x_i\)	7	9	6	8	5	7
\(x_i-\bar x\)	0	2	−1	1	−2	0
\((x_i-\bar x)^2\)	0	4	1	1	4	0