объясни сложение и вычитание смешанных чисел

Кратко: смешанное число — это целая часть плюс дробная, например \(2\frac{1}{3}=2+\frac{1}{3}\). При сложении и вычитании отдельно работают с целыми частями и дробями, но дроби должны иметь одинаковый знаменатель.

Сложение

1. Привести дробные части к общему знаменателю.
2. Сложить целые части и отдельно дробные.
3. Если дробная часть стала неправильной, выделить из неё целое и перенести в целую часть.

Пример: \[ 2\frac{3}{4}+1\frac{2}{3} \] Общий знаменатель — \(12\): \[ 2\frac{9}{12}+1\frac{8}{12} \] Складываем дроби: \[ \frac{9}{12}+\frac{8}{12}=\frac{17}{12}=1\frac{5}{12} \] Складываем целые: \[ 2+1+1=4 \] Ответ: \[ 4\frac{5}{12} \]

Проверка через неправильные дроби: \[ 2\frac{3}{4}+1\frac{2}{3}=\frac{11}{4}+\frac{5}{3} =\frac{33}{12}+\frac{20}{12} =\frac{53}{12}=4\frac{5}{12} \]

Вычитание

Сначала также приводим дроби к общему знаменателю. Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, «занимаем» единицу у целой части: \(1\) превращается в дробь со знаменателем, например \(1=\frac{12}{12}\).

Пример: \[ 5\frac{1}{3}-2\frac{3}{4} \] Общий знаменатель — \(12\): \[ 5\frac{4}{12}-2\frac{9}{12} \] Из \(\frac{4}{12}\) нельзя вычесть \(\frac{9}{12}\), поэтому занимаем единицу: \[ 5\frac{4}{12}=4\frac{16}{12} \] Теперь вычитаем: \[ 4\frac{16}{12}-2\frac{9}{12} =2\frac{7}{12} \]

Проверка: \[ \frac{16}{3}-\frac{11}{4} =\frac{64}{12}-\frac{33}{12} =\frac{31}{12}=2\frac{7}{12} \]

Главное правило: приведите дроби к общему знаменателю, затем считайте целые и дробные части отдельно; при сложении переносите целое из дроби, а при вычитании при необходимости занимайте единицу у целой части.