САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА Статистика • ВАРИАНТ 2 1. Множества. Дано множество B = {3, 6, 9, 12, 15}.

Краткий ответ

1. а) \(B=\{x\in\mathbb{N}\mid x=3n,\ n=1,2,3,4,5\}\) — натуральные числа, кратные 3, от 3 до 15; б) \(12\in B\) — верно, \(4\in B\) — неверно, \(\{3,9,15\}\subset B\) — верно.
2. а) \(\bar x=4\); б) \(D=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}\approx 1{,}67\); в) \(\sigma\approx 1{,}29\).
3. Более стабильно и кучно работает первый станок.

1. Множества

Характеристическое свойство — это правило, по которому можно проверить любое число, не выписывая весь список. Все элементы \(3, 6, 9, 12, 15\) делятся на 3, то есть имеют вид \(3n\) при \(n=1,2,3,4,5\):

\[ B=\{x\in\mathbb{N}\mid x=3n,\ n=1,2,3,4,5\} \]

Словами: «натуральные числа, кратные 3, не большие 15».

Проверка утверждений идёт прямо по списку элементов: 12 в нём есть — значит \(12\in B\) верно; 4 в нём нет — \(4\in B\) неверно; числа 3, 9, 15 все входят в \(B\), поэтому \(\{3,9,15\}\subset B\) верно.

2. Дисперсия и стандартное отклонение

Сначала среднее арифметическое:

\[ \bar x=\frac{4+5+3+4+2+6}{6}=\frac{24}{6}=4 \]

Теперь отклонения каждой оценки от среднего и их квадраты:

Сумма отклонений равна 0 — это контроль: если получилось не 0, среднее найдено с ошибкой. Сумма квадратов отклонений равна 10, поэтому

\[ D=\frac{0+1+1+0+4+4}{6}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}\approx 1{,}67 \]

\[ \sigma=\sqrt{D}=\sqrt{1{,}67}\approx 1{,}29 \]

Смысл: дисперсия — средний квадрат отклонения, а стандартное отклонение — корень из неё, поэтому оно измеряется в тех же единицах, что и сами данные (в баллах).

Если в вашем учебнике дисперсию считают с делением на \(n-1=5\), получатся \(D=2\) и \(\sigma\approx 1{,}41\). В школьном курсе 8 класса обычно делят на \(n\).

3. Анализ данных

Среднее у обоих станков равно 0, значит отклонения — это сами измеренные числа. У первого станка все значения лежат в пределах от −1 до 1, у второго встречаются −3 и 3. Чем дальше значения от среднего, тем больше их квадраты, а дисперсия — это среднее квадратов отклонений. У второго станка квадраты отклонений заметно больше, значит больше и дисперсия, и стандартное отклонение.

Проверка расчётом: \(D_1=\frac{1+0+1+0+0}{5}=0{,}4\), \(\sigma_1\approx 0{,}63\); \(D_2=\frac{9+4+0+4+9}{5}=5{,}2\), \(\sigma_2\approx 2{,}28\).

Вывод: первый станок даёт меньший разброс размеров деталей, поэтому он работает стабильнее и кучнее.