Реши задание на изображении
Краткий ответ
1. а) \(A=\{3k+2 \mid k=0,1,2,3,4\}\); б) \(5\in A\) — верно, \(7\in A\) — неверно, \(\{8,14\}\subset A\) — верно. 2. а) \(\bar x=7\); б) \(D=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}\approx 1{,}67\); в) \(\sigma\approx 1{,}29\). 3. Больше стандартное отклонение у второго стрелка.
1. Множества
Множество \(A=\{2,\,5,\,8,\,11,\,14\}\) — это арифметическая прогрессия: каждое следующее число на 3 больше предыдущего, первый член 2.
а) Значит, элемент множества — натуральное число вида \(3k+2\), где \(k=0,1,2,3,4\):
\[ A=\{x\in\mathbb{N}\mid x=3k+2,\ k=0,1,2,3,4\} \]
(можно словами: «числа, которые при делении на 3 дают остаток 2 и не превосходят 14»).
б) Проверяем каждое утверждение по списку элементов:
- \(5\in A\) — верно, пятёрка есть в списке;
- \(7\in A\) — неверно, семёрки в множестве нет;
- \(\{8,14\}\subset A\) — верно: и 8, и 14 входят в \(A\), значит это множество является подмножеством \(A\).
2. Дисперсия и отклонение
Ряд: \(7,\,9,\,6,\,8,\,5,\,7\), всего \(n=6\) значений.
а) Среднее арифметическое:
\[ \bar x=\frac{7+9+6+8+5+7}{6}=\frac{42}{6}=7 \]
б) Отклонение — это разность «значение минус среднее»:
| \(x_i\) | 7 | 9 | 6 | 8 | 5 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x_i-\bar x\) | 0 | 2 | −1 | 1 | −2 | 0 |
| \((x_i-\bar x)^2\) | 0 | 4 | 1 | 1 | 4 | 0 |
Можно заметить: сумма отклонений всегда \(0=0\) — это хороший самоконтроль. Дисперсия — среднее квадратов отклонений:
\[ D=\frac{0+4+1+1+4+0}{6}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}\approx 1{,}67 \]
в) Стандартное отклонение — корень из дисперсии:
\[ \sigma=\sqrt{\frac{5}{3}}\approx 1{,}29 \]
Проверка: \(\sigma\) должно быть чуть больше 1 — данные отклоняются от среднего на 1–2 торта, так и вышло. Если в классе считают выборочную дисперсию (делят на \(n-1=5\)), получится \(D=2\), \(\sigma\approx 1{,}41\) — уточните, какую формулу давал учитель; в 8 классе обычно делят на \(n\).
3. Анализ данных
Средние у обоих стрелков одинаковые (по 9), поэтому сравнивать надо не средние, а разброс — насколько выстрелы уходят от своего среднего.
- 1-й стрелок: \(8,9,9,10,9\) — все результаты в пределах \(\pm 1\) от девятки, кучно.
- 2-й стрелок: \(6,10,7,10,12\) — есть отклонения \(-3\) и \(+3\), то есть выстрелы разбросаны шире.
Раз данные второго стрелка дальше от среднего, квадраты отклонений у него крупнее, значит больше и дисперсия, и стандартное отклонение.
Для проверки полный расчёт: \[ D_1=\frac{1+0+0+1+0}{5}=0{,}4,\quad \sigma_1\approx 0{,}63 \] \[ D_2=\frac{9+1+4+1+9}{5}=4{,}8,\quad \sigma_2\approx 2{,}19 \]
Вывод подтвердился: у второго стрелка \(\sigma\) примерно в 3,5 раза больше — он менее стабилен, хотя в среднем стреляет так же.
