5,6,7
Сверь числа и знаки с фото.
- В прямоугольном треугольнике \(MNL\) \(\sin N = \frac{24}{25}\). Какие стороны треугольника можно найти из этого равенства (рис. 4)?
- В треугольнике \(MNL\) \(\angle L = 90^\circ\), \(MN = 13\) см, \(ML = 12\) см, \(NL = 5\) см (рис. 4). Найдите значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла \(M\).
- В треугольнике \(ABC\) \(\angle C = 90^\circ\), \(AB = 17\) см, \(BC = 8\) см, \(AC = 15\) см. Найдите значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов \(A\) и \(B\). [Рисунок 4: прямоугольный треугольник \(MNL\) с прямым углом \(L\); вершина \(N\) вверху, \(L\) справа, \(M\) внизу слева.]
Кратко
Из \(\sin N=\frac{24}{25}\) следует \(\frac{ML}{MN}=\frac{24}{25}\), то есть \(ML:MN=24:25\). Если обозначить \(ML=24k\), \(MN=25k\), то по теореме Пифагора \(NL=7k\). Непосредственно находятся \(ML\) и \(MN\) — точнее, их отношение; длину \(NL\) можно найти через теорему Пифагора, но числовые длины без хотя бы одного размера не определяются.
Для угла \(M\): \[ \sin M=\frac{5}{13},\quad \cos M=\frac{12}{13},\quad \mathrm{tg}\,M=\frac{5}{12},\quad \mathrm{ctg}\,M=\frac{12}{5}. \]
Для углов \(A\) и \(B\): \[ \sin A=\frac{8}{17},\quad \cos A=\frac{15}{17},\quad \mathrm{tg}\,A=\frac{8}{15},\quad \mathrm{ctg}\,A=\frac{15}{8}; \] \[ \sin B=\frac{15}{17},\quad \cos B=\frac{8}{17},\quad \mathrm{tg}\,B=\frac{15}{8},\quad \mathrm{ctg}\,B=\frac{8}{15}. \]
Как понять принцип
В прямоугольном треугольнике для острого угла \(\alpha\):
\[ \sin\alpha=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}},\quad \cos\alpha=\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}, \] \[ \mathrm{tg}\,\alpha=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}},\quad \mathrm{ctg}\,\alpha=\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}}. \]
Главное — сначала определить, какие стороны являются противолежащим катетом, прилежащим катетом и гипотенузой для нужного угла.
№ 5
В треугольнике \(MNL\) угол \(N\) — острый, прямой угол находится при \(L\).
Для угла \(N\):
- противолежащий катет — \(ML\);
- гипотенуза — \(MN\);
- прилежащий катет — \(NL\).
Поэтому \[ \sin N=\frac{ML}{MN}=\frac{24}{25}. \]
Значит, \[ ML:MN=24:25. \]
Если \(ML=24k\), \(MN=25k\), то \[ NL=\sqrt{(25k)^2-(24k)^2} =\sqrt{625k^2-576k^2} =\sqrt{49k^2}=7k. \]
То есть стороны относятся как \[ ML:NL:MN=24:7:25. \]
Но \(k\) неизвестен, поэтому сами длины сторон без дополнительного размера найти нельзя. Если бы, например, было сказано \(MN=25\) см, то \(k=1\), и тогда \(ML=24\) см, \(NL=7\) см.
№ 6
В треугольнике \(MNL\) угол \(L=90^\circ\), значит \(MN=13\) — гипотенуза.
Для угла \(M\):
- противолежащий катет — \(NL=5\);
- прилежащий катет — \(ML=12\);
- гипотенуза — \(MN=13\).
Подставляем: \[ \sin M=\frac{NL}{MN}=\frac{5}{13}, \] \[ \cos M=\frac{ML}{MN}=\frac{12}{13}, \] \[ \mathrm{tg}\,M=\frac{NL}{ML}=\frac{5}{12}, \] \[ \mathrm{ctg}\,M=\frac{ML}{NL}=\frac{12}{5}. \]
Проверка: \(5^2+12^2=25+144=169=13^2\), значит треугольник прямоугольный и данные согласованы.
№ 7
В треугольнике \(ABC\) угол \(C=90^\circ\), значит \(AB=17\) — гипотенуза.
Для угла \(A\):
- противолежащий катет — \(BC=8\);
- прилежащий катет — \(AC=15\).
Для угла \(B\) наоборот:
- противолежащий катет — \(AC=15\);
- прилежащий катет — \(BC=8\).
Поэтому для \(A\): \[ \sin A=\frac{8}{17},\quad \cos A=\frac{15}{17}, \] \[ \mathrm{tg}\,A=\frac{8}{15},\quad \mathrm{ctg}\,A=\frac{15}{8}. \]
Для \(B\): \[ \sin B=\frac{15}{17},\quad \cos B=\frac{8}{17}, \] \[ \mathrm{tg}\,B=\frac{15}{8},\quad \mathrm{ctg}\,B=\frac{8}{15}. \]
Проверка: \(8^2+15^2=64+225=289=17^2\).
Как действовать в похожем задании: подпиши для выбранного угла «противолежащий катет», «прилежащий катет», «гипотенуза», затем подставь длины в определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Тангенс и котангенс — взаимно обратные числа.
