Отрезки AB и MN пересекаются в точке O. Известно, что AO = OB = 13 см и MO = ON. Отмеченные на рисунке углы равны.
Реши
Сверь числа и знаки с фото.
ЗАДАНИЕ №1 Отрезки \(AB\) и \(MN\) пересекаются в точке \(O\). Известно, что \(AO = OB = 13\) см и \(MO = ON\). Отмеченные на рисунке углы равны. [Рисунок: точки \(A\) (слева вверху), \(N\) (справа вверху), \(M\) (слева внизу), \(B\) (справа внизу); отрезки \(AB\) и \(MN\) пересекаются в точке \(O\); на \(AO\) и \(OB\) — двойные штрихи, на \(MO\) и \(ON\) — одинарные штрихи; отмечены углы \(\angle AOM\) и \(\angle OBN\).] Найдите расстояние между точками \(A\) и \(M\), если периметр треугольника \(BON\) составляет \(33\) см. \(AM = \underline{\phantom{000}}\) см.
ЗАДАНИЕ №2 В треугольнике \(ABC\) отмечены равные стороны. [Рисунок: треугольник \(ABC\), вершина \(C\) вверху, \(A\) и \(B\) внизу; на сторонах \(AC\) и \(BC\) — по одному штриху.] Известно, что \(\angle CAB + \angle CBA = 60^\circ\). Найти величину угла \(CAB\). \(\angle CAB = \underline{\phantom{000}}^\circ\).
Ответ: №1 — \(10\) см; №2 — \(30^\circ\). Задание №3 на фото обрезано, его условия не видно.
Задание №1
На рисунке отмечены равные углы \(\angle AOM\) и \(\angle OBN\).
- \(\angle AOM\) и \(\angle BON\) — вертикальные, поэтому \[ \angle BON=\angle AOM. \]
- По условию \(\angle AOM=\angle OBN\), значит, \[ \angle BON=\angle OBN. \] В треугольнике \(BON\) равны углы при вершинах \(O\) и \(B\), поэтому равны и противоположные им стороны: \[ ON=BN. \]
- Периметр треугольника \(BON\) равен \(33\) см: \[ BO+ON+BN=33. \] Так как \(BO=13\) и \(ON=BN\): \[ 13+2BN=33, \] \[ 2BN=20,\qquad BN=10\text{ см}. \]
- Треугольники \(AOM\) и \(BON\) равны по двум сторонам и углу между ними: \[ AO=BO,\qquad OM=ON,\qquad \angle AOM=\angle BON. \] Следовательно, \[ AM=BN=10\text{ см}. \]
Проверка: \(13+10+10=33\) см — сходится.
Задание №2
Одинаковые штрихи на сторонах \(AC\) и \(BC\) означают, что \[ AC=BC. \] Треугольник равнобедренный с основанием \(AB\), поэтому углы при основании равны: \[ \angle CAB=\angle CBA. \] По условию: \[ \angle CAB+\angle CBA=60^\circ. \] Значит, \[ 2\angle CAB=60^\circ, \] \[ \angle CAB=30^\circ. \]
Проверка: углы \(30^\circ\) и \(30^\circ\), угол при вершине \(C\) равен \(120^\circ\); сумма \(30^\circ+30^\circ+120^\circ=180^\circ\).
