реши полностью

Краткий ответ

1. \((1;4)\), \((-1;4)\);
2. \((1;2)\), \((-1;2)\);
3. \((3;4)\), \((3;-4)\).

1-я система

\[ \begin{cases} x^2+y=5,\\ 6x^2-y=2. \end{cases} \]

Складываю уравнения: \(y\) и \(-y\) взаимно уничтожаются: \[ (x^2+y)+(6x^2-y)=5+2 \] \[ 7x^2=7,\quad x^2=1,\quad x=\pm1. \]

Возвращаюсь к первому уравнению: \[ y=5-x^2=5-1=4. \]

Значит, решения: \((1;4)\) и \((-1;4)\).

2-я система

\[ \begin{cases} 2x^2+y=4,\\ 4x^2-y=2. \end{cases} \]

Снова складываю уравнения: \[ (2x^2+y)+(4x^2-y)=4+2 \] \[ 6x^2=6,\quad x^2=1,\quad x=\pm1. \]

Тогда \[ y=4-2x^2=4-2=2. \]

Решения: \((1;2)\) и \((-1;2)\).

3-я система

\[ \begin{cases} 5x^2+y^2=61,\\ 15x^2+3y^2=61x. \end{cases} \]

Замечаю, что левая часть второго уравнения в 3 раза больше левой части первого: \[ 15x^2+3y^2=3(5x^2+y^2). \]

По первому уравнению \(5x^2+y^2=61\), поэтому \[ 15x^2+3y^2=3\cdot61=183. \]

Но по второму уравнению это же выражение равно \(61x\), значит: \[ 61x=183,\quad x=3. \]

Подставляю \(x=3\) в первое уравнение: \[ 5\cdot9+y^2=61, \] \[ 45+y^2=61, \] \[ y^2=16,\quad y=\pm4. \]

Решения: \((3;4)\) и \((3;-4)\).

Проверка

1. При \(x=\pm1\), \(y=4\): \[ x^2+y=1+4=5,\qquad 6x^2-y=6-4=2. \]

2. При \(x=\pm1\), \(y=2\): \[ 2x^2+y=2+2=4,\qquad 4x^2-y=4-2=2. \]

3. При \(x=3\), \(y=\pm4\): \[ 5\cdot9+16=61, \] \[ 15\cdot9+3\cdot16=135+48=183=61\cdot3. \]

Главный принцип: если при \(y\) стоят противоположные коэффициенты, уравнения удобно сложить. Если левые части двух уравнений пропорциональны, одну можно выразить через другую. После нахождения \(x\) обязательно возвращайся к исходному уравнению за \(y\) и проверяй оба знака.