реши все задания 1 и 2 вариантов
Сверь числа и знаки с фото.
КИНЕМАТИКА Контрольная работа 2 Вариант 1
- Угловая скорость движения материальной точки по окружности определяется по формуле: а) \(v = \frac{s}{\Delta t}\); в) \(v = \omega R\); б) \(\omega = \frac{\Delta \varphi}{\Delta t}\); г) \(\vec{v} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}\).
- Двигаясь равноускоренно из состояния покоя, автомобиль прошёл путь \(s = 28\) м за промежуток времени \(\Delta t = 4,0\) с. Чему равен модуль ускорения автомобиля?
- При равномерном вращении барабана точка на его поверхности прошла путь \(s = 32\) см за промежуток времени \(\Delta t = 0,40\) с, при этом радиус, соединяющий ось барабана с данной точкой, повернулся на угол \(\varphi = 2,0\) рад. Чему равен модуль центростремительного ускорения точки?
- Уравнение движения материальной точки вдоль оси Ox имеет вид: \(x = A + Bt + Ct^2\), где \(A = -3\) м, \(B = 4 \frac{м}{с}\), \(C = -1 \frac{м}{с^2}\). Определите модуль скорости точки через промежуток времени \(\Delta t = 6\) с после начала отсчёта времени.
- Проходя путь \(s = 6,0\) км между двумя станциями, поезд потратил \(\Delta t = 6,0\) мин на разгон в начале движения и торможение в конце, а остальное время двигался с постоянной путевой скоростью \(v = 80 \frac{км}{ч}\). Чему равна средняя путевая скорость поезда за всё время движения? Вариант 2
- Линейная скорость движения материальной точки по окружности связана с угловой скоростью соотношением: а) \(\omega = \frac{2\pi}{T}\); в) \(v = \omega R\); б) \(v = \frac{s}{\Delta t}\); г) \(\omega = \frac{\Delta \varphi}{\Delta t}\).
- Тело, двигаясь вдоль оси Ox с ускорением, проекция которого на эту ось \(a_x = 2,0 \frac{м}{с^2}\), за промежуток времени \(\Delta t = 2,5\) с совершило перемещение, проекция которого \(\Delta r_x = 30\) м. Чему равна проекция начальной скорости движения тела?
- При равномерном вращении диска его радиус за промежуток времени \(\Delta t = 0,60\) с совершил поворот на угол \(\varphi = 4,0\) рад. Определите путь, пройденный точкой, лежащей на краю диска, если модуль её центростремительного ускорения \(a = 3,0 \frac{м}{с^2}\).
- Уравнение движения материальной точки вдоль оси Ox имеет вид: \(x = A + Bt + Ct^2\), где \(A = 1\) м, \(B = 3 \frac{м}{с}\), \(C = -0,5 \frac{м}{с^2}\). Чему равен модуль мгновенной скорости движения точки через промежуток времени \(\Delta t = 5\) с после начала отсчёта времени?
- Поезд прошёл путь \(s = 6,0\) км между двумя станциями со средней путевой скоростью \(\langle v \rangle = 60 \frac{км}{ч}\). При этом на разгон в начале движения и торможение в конце он затратил \(\Delta t = 4,0\) мин, а остальное время двигался с постоянной скоростью. Чему равна эта скорость?
Краткие ответы:
| № | Вариант 1 | Вариант 2 |
|---|---|---|
| 1 | б) \(\omega = \dfrac{\Delta \varphi}{\Delta t}\) | в) \(v = \omega R\) |
| 2 | \(3{,}5\) м/с² | \(9{,}5\) м/с |
| 3 | \(4{,}0\) м/с² | \(0{,}27\) м (27 см) |
| 4 | \(8\) м/с | \(2\) м/с |
| 5 | \(48\) км/ч | \(90\) км/ч |
Вариант 1
1. Угловая скорость показывает, на какой угол поворачивается радиус за единицу времени: \[ \omega=\frac{\Delta \varphi}{\Delta t}. \] Поэтому верный вариант — б). Остальные формулы: а) — линейная скорость, в) — связь \(v\) и \(\omega\), г) — средняя скорость.
2. При равноускоренном движении из состояния покоя \[ s=\frac{at^2}{2}. \] Отсюда \[ a=\frac{2s}{t^2}=\frac{2\cdot 28}{4{,}0^2}=\frac{56}{16}=3{,}5\ \text{м/с}^2. \] Проверка: \(\frac{3{,}5\cdot 16}{2}=28\) м.
3. Путь по дуге при повороте на угол \(\varphi\): \[ s=R\varphi. \] Значит, \[ R=\frac{s}{\varphi}=\frac{0{,}32}{2{,}0}=0{,}16\ \text{м}. \] Угловая скорость \[ \omega=\frac{\varphi}{\Delta t}=\frac{2{,}0}{0{,}40}=5{,}0\ \text{рад/с}. \] Центростремительное ускорение \[ a_c=\omega^2R=5{,}0^2\cdot 0{,}16=4{,}0\ \text{м/с}^2. \] Проверка: \(a_c=\omega v=5{,}0\cdot \frac{0{,}32}{0{,}40}=4{,}0\) м/с².
4. Скорость — производная координаты по времени: \[ v_x=B+2Ct. \] При \(B=4\), \(C=-1\): \[ v_x=4-2t. \] Через \(t=6\) с: \[ v_x=4-12=-8\ \text{м/с}. \] Модуль скорости равен \(8\) м/с. Знак «минус» означает, что точка движется против оси \(Ox\).
5. Общее время складывается из времени разгона и торможения и времени равномерного движения. Считаем разгон и торможение равноускоренными — тогда средняя скорость на этих участках равна \(\frac{v}{2}=40\) км/ч.
За \(\Delta t=6{,}0\) мин \(=0{,}1\) ч поезд проходит
\[
s_{\text{п}}=40\cdot 0{,}1=4\ \text{км}.
\]
Остальной путь:
\[
s_1=6-4=2\ \text{км}.
\]
Время равномерного движения:
\[
t_1=\frac{2}{80}=0{,}025\ \text{ч}=1{,}5\ \text{мин}.
\]
Общее время:
\[
t=0{,}1+0{,}025=0{,}125\ \text{ч}.
\]
Средняя путевая скорость:
\[
\langle v\rangle=\frac{s}{t}=\frac{6}{0{,}125}=48\ \text{км/ч}.
\]
Проверка: \(80\cdot 0{,}025+40\cdot 0{,}1=2+4=6\) км.
Вариант 2
1. Линейная скорость точки на окружности связана с угловой скоростью: \[ v=\omega R. \] Верный вариант — в). а) — \(\omega\) через период, б) — линейная скорость через путь и время, г) — угловая скорость через угол.
2. Уравнение перемещения при равноускоренном движении: \[ \Delta r_x=v_{0x}\Delta t+\frac{a_x\Delta t^2}{2}. \] Отсюда \[ v_{0x}=\frac{\Delta r_x-\frac{a_x\Delta t^2}{2}}{\Delta t}. \] Подставляем: \[ v_{0x}=\frac{30-\frac{2{,}0\cdot 2{,}5^2}{2}}{2{,}5} =\frac{30-6{,}25}{2{,}5}=9{,}5\ \text{м/с}. \] Проверка: \(9{,}5\cdot 2{,}5+\frac{2{,}0\cdot 6{,}25}{2}=23{,}75+6{,}25=30\) м.
3. Угловая скорость: \[ \omega=\frac{\varphi}{\Delta t}=\frac{4{,}0}{0{,}60}=\frac{20}{3}\ \text{рад/с}. \] Из \(a_c=\omega^2R\): \[ R=\frac{a_c}{\omega^2} =\frac{3{,}0}{\left(\frac{20}{3}\right)^2} =\frac{27}{400}=0{,}0675\ \text{м}. \] Путь точки на краю диска: \[ s=R\varphi=0{,}0675\cdot 4{,}0=0{,}27\ \text{м}=27\ \text{см}. \] Проверка: \(v=\omega R=0{,}45\) м/с; \(a_c=\frac{v^2}{R}=\frac{0{,}45^2}{0{,}0675}=3{,}0\) м/с².
4. Мгновенная скорость: \[ v_x=B+2Ct. \] При \(B=3\), \(C=-0{,}5\): \[ v_x=3-t. \] Через \(t=5\) с: \[ v_x=3-5=-2\ \text{м/с}. \] Модуль скорости равен \(2\) м/с.
5. Общее время движения: \[ t=\frac{s}{\langle v\rangle}=\frac{6{,}0}{60}=0{,}1\ \text{ч}=6\ \text{мин}. \] Время равномерного движения: \[ t_1=6-4=2\ \text{мин}=\frac{1}{30}\ \text{ч}. \] Считаем разгон и торможение равноускоренными; средняя скорость на них \(\frac{v}{2}\). Тогда \[ s=v t_1+\frac{v}{2}\Delta t =v\cdot \frac{1}{30}+\frac{v}{2}\cdot \frac{1}{15} =\frac{v}{15}. \] Отсюда \[ v=15s=15\cdot 6{,}0=90\ \text{км/ч}. \] Проверка: на равномерном участке \(90\cdot \frac{1}{30}=3\) км, на разгоне и торможении \(45\cdot \frac{1}{15}=3\) км; всего \(6\) км, средняя скорость \(6/0{,}1=60\) км/ч.
