3. На столе перпендикулярно его краю лежит однородная линейка длиной 75 см.

Кратко

№	Ответ
3	свешивается \(12{,}5\) см линейки
4	\(F\approx 4{,}9\) Н \(\approx 5\) Н
5	центр тяжести лежит на отрезке между центрами двух прямоугольников и делит его обратно пропорционально их площадям
6	центр тяжести смещён от места скрепления в сторону меди примерно на \(0{,}27a\) (\(a\) — длина пластинки)

Общая идея всех четырёх задач одна: правило моментов (для равновесия сумма моментов сил относительно любой точки равна нулю) и центр тяжести как «средневзвешенная» точка.

---

№ 3. Линейка на краю стола

Пусть \(L=0{,}75\) м, \(x\) — длина свеса, \(m\) — масса линейки, тогда груз имеет массу \(2m\). Точка опоры — край стола.

Разобьём линейку на две части и запишем моменты относительно края:

\[ m\frac{L-x}{L}\cdot g\cdot\frac{L-x}{2}=m\frac{x}{L}\cdot g\cdot\frac{x}{2}+2mg\cdot x \]

Сокращаем \(mg\) и умножаем на \(2L\):

\[ (L-x)^2=x^2+4Lx \;\Rightarrow\; L^2-2Lx+x^2=x^2+4Lx \;\Rightarrow\; x=\frac{L}{6} \]

\[ x=\frac{75}{6}=12{,}5\ \text{см} \]

Короткий путь: вся линейка «сидит» в своей середине, то есть на расстоянии \(\frac{L}{2}-x\) от края (если середина ещё на столе). Тогда

\[ 2m\cdot x=m\left(\frac{L}{2}-x\right)\Rightarrow 3x=\frac{L}{2}\Rightarrow x=\frac{L}{6} \]

Проверка: \(\frac{L}{2}-x=37{,}5-12{,}5=25\) см \(>0\) — середина действительно на столе, значит предположение верно. И моменты: \(2m\cdot 12{,}5=25m\) против \(m\cdot 25=25m\). ✔

---

№ 4. Стержень на шарнире

Реакция шарнира приложена в точке A и проходит через неё, поэтому момента относительно A не создаёт — её можно вообще не считать.

Плечи относительно A:

• у силы тяжести — горизонтальное расстояние до середины стержня: \(\frac{L}{2}\cos\alpha\);
• у силы \(F\) — вертикальное расстояние от A до B: \(L\sin\alpha\).

\[ mg\cdot\frac{L}{2}\cos\alpha=F\cdot L\sin\alpha \]

\[ F=\frac{mg}{2}\operatorname{ctg}\alpha=\frac{1\cdot 9{,}8}{2}\cdot 1=4{,}9\ \text{Н}\approx 5\ \text{Н} \]

(при \(g=10\) м/с² получается ровно 5 Н). Заметьте: при \(\alpha=45^\circ\) котангенс равен 1, поэтому ответ просто равен половине веса стержня.

---

№ 5. Пластинка ступенчатой формы (рис. 74)

Размеров на рисунке нет, поэтому ответ — это способ построения:

1. Разбейте пластинку на два прямоугольника (например, высокий левый и верхний правый).
2. В каждом прямоугольнике центр тяжести — точка пересечения диагоналей.
3. Соедините эти две точки отрезком. Искомый центр тяжести лежит на нём и делит его так, что

\[ S_1d_1=S_2d_2, \]

где \(S_1, S_2\) — площади прямоугольников, \(d_1, d_2\) — расстояния от их центров до центра тяжести.

Почему так: толщина и плотность везде одинаковы, значит массы пропорциональны площадям, и каждая часть ведёт себя как точечная масса в своём центре. Поэтому центр тяжести всегда ближе к большему прямоугольнику; при равных площадях он ровно посередине отрезка.

---

№ 6. Алюминий + медь (рис. 75)

Пластинки одинаковых размеров, значит объёмы равны: \(V\). Массы:

\[ m_{\text{Al}}=\rho_{\text{Al}}V=2700V,\qquad m_{\text{Cu}}=\rho_{\text{Cu}}V=8900V \]

Пусть \(a\) — длина пластинки (размер поперёк шва). Середина шва — начало отсчёта, центры пластинок в точках \(-\frac{a}{2}\) (алюминий) и \(+\frac{a}{2}\) (медь).

\[ x_c=\frac{m_{\text{Al}}\left(-\frac{a}{2}\right)+m_{\text{Cu}}\left(+\frac{a}{2}\right)}{m_{\text{Al}}+m_{\text{Cu}}} =\frac{a}{2}\cdot\frac{8900-2700}{8900+2700} \]

\[ x_c=\frac{a}{2}\cdot\frac{6200}{11600}\approx 0{,}27a \]

Ответ: центр тяжести лежит на прямой, проходящей через центры обеих пластинок, на расстоянии \(\approx 0{,}27a\) от места скрепления в сторону медной пластинки (то есть \(\approx 0{,}23a\) от центра медной пластинки в сторону шва). Например, при \(a=10\) см это 2,7 см вправо от шва.

Проверка смысла: если бы металлы были одинаковыми, \(\rho\) сократилось бы и центр оказался бы ровно на шве — так и должно быть по симметрии. ✔

---