Вариант 1. 1. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках E и F соответственно. Найдите AC
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Вариант 1
- Прямая, параллельная стороне \(AC\) треугольника \(ABC\), пересекает стороны \(AB\) и \(BC\) в точках \(E\) и \(F\) соответственно. Найдите \(AC\), если \(EB = 9\), \(AB = 90\), \(EF = 18\).
- Отрезки \(AF\) и \(KM\) лежат на параллельных прямых, а отрезки \(AK\) и \(FM\) пересекаются в точке \(S\). Найдите \(SM\), если \(AF = 12\), \(MK = 24\), \(FM = 12\).
- Точка \(A\) является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла \(O\) прямоугольного треугольника \(KOM\) к гипотенузе \(KM\). Найдите \(AO\), если \(AK = 6\), \(AM = 15\).
Вариант 2
- Прямая, параллельная стороне \(KM\) треугольника \(KMN\), пересекает стороны \(KN\) и \(MN\) в точках \(A\) и \(B\) соответственно. Найдите \(KM\), если \(NA = 6\), \(NK = 18\), \(AB = 8\).
- Отрезки \(ZK\) и \(OD\) лежат на параллельных прямых, а отрезки \(ZD\) и \(KO\) пересекаются в точке \(N\). Найдите \(ND\), если \(ZK = 2\), \(DO = 30\), \(ZD = 96\).
- Точка \(K\) является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла \(M\) прямоугольного треугольника \(MOT\) к гипотенузе \(OT\). Найдите \(MK\), если \(OK = 6\), \(KT = 15\).
На фото два варианта — я разобрал оба. Ответы:
| №1 | №2 | №3 | |
|---|---|---|---|
| Вариант 1 | \(180\) | \(8\) | \(3\sqrt{10}\) |
| Вариант 2 | \(24\) | \(90\) | \(3\sqrt{10}\) |
Почему так
- Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает подобный треугольник.
Вариант 1 №1: \(\triangle EBF\sim\triangle ABC\), поэтому \[ \frac{EB}{AB}=\frac{EF}{AC}. \] \[ \frac{9}{90}=\frac{18}{AC}\quad\Rightarrow\quad AC=180. \]
Вариант 2 №1: \(\triangle NAB\sim\triangle NKM\), поэтому \[ \frac{NA}{NK}=\frac{AB}{KM}. \] \[ \frac{6}{18}=\frac{8}{KM}\quad\Rightarrow\quad KM=24. \]
- Если между параллельными прямыми пересекаются отрезки, получаются подобные треугольники. Точка пересечения делит каждый отрезок в отношении параллельных сторон.
Вариант 1 №2: \[ FS:SM=AF:MK=12:24=1:2. \] Всего \(FM=12\), значит \(FS=4\), \(SM=8\).
Вариант 2 №2: \[ ZN:ND=ZK:DO=2:30=1:15. \] Всего \(ZD=96\), значит \(ZN=6\), \(ND=90\).
- Высота, проведённая к гипотенузе, связана с отрезками гипотенузы формулой \[ h^2=p\cdot q, \] где \(p\) и \(q\) — части гипотенузы.
Вариант 1 №3: \[ AO^2=AK\cdot AM=6\cdot15=90, \] \[ AO=3\sqrt{10}. \]
Вариант 2 №3: \[ MK^2=OK\cdot KT=6\cdot15=90, \] \[ MK=3\sqrt{10}. \]
Проверка: в №2 суммы частей дают целые отрезки: \(4+8=12\), \(6+90=96\); в №3 \(h^2=90\).
