Δ |12 5 3; 2 6 −2; 4 7 1| =

Краткий ответ: \(\Delta = 160\).

Как считаем

Определитель третьего порядка раскладываем по первой строке. Знаки чередуются: \(+,-\), а каждый элемент умножается на определитель \(2\times2\), который остаётся после вычёркивания его строки и его столбца:

\[ \Delta = 12\begin{vmatrix}6 & -2\\ 7 & 1\end{vmatrix} - 5\begin{vmatrix}2 & -2\\ 4 & 1\end{vmatrix} + 3\begin{vmatrix}2 & 6\\ 4 & 7\end{vmatrix} \]

Определитель \(2\times2\) считается по правилу \(\begin{vmatrix}a & b\\ c & d\end{vmatrix}=ad-bc\), поэтому миноры такие:

\[ \begin{vmatrix}6 & -2\\ 7 & 1\end{vmatrix}=6\cdot1-(-2)\cdot7=6+14=20 \] \[ \begin{vmatrix}2 & -2\\ 4 & 1\end{vmatrix}=2\cdot1-(-2)\cdot4=2+8=10 \] \[ \begin{vmatrix}2 & 6\\ 4 & 7\end{vmatrix}=2\cdot7-6\cdot4=14-24=-10 \]

Подставляем:

\[ \Delta = 12\cdot20 - 5\cdot10 + 3\cdot(-10) = 240 - 50 - 30 = 160 \]

Проверка (правило треугольников / Саррюса): берём три «диагональных» произведения слева направо со знаком «плюс» и три справа налево со знаком «минус»:

\[ 12\cdot6\cdot1 + 5\cdot(-2)\cdot4 + 3\cdot2\cdot7 - 3\cdot6\cdot4 - 5\cdot2\cdot1 - 12\cdot(-2)\cdot7 \] \[ = 72 - 40 + 42 - 72 - 10 + 168 = 160 \]

Оба способа дают одно и то же, значит ответ верный. Главное, что стоит запомнить: при разложении по строке/столбцу чередуются знаки, а минор — это определитель матрицы без выбранной строки и столбца. Слева в кадре виден край другого определителя — к этому заданию он не относится.