1. Дан параллелограмм ABCD. Известно, что a = AB, b = AD. Разложите векторы: а) AC; б) BD.

По пометке «Задание 1» решаю первый пункт.

Краткий ответ \[ \overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b,\qquad \overrightarrow{BD}=\vec b-\vec a. \]

Ключевые шаги

1. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, поэтому \[ \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec b. \]

2. Вектор \(\overrightarrow{AC}\) идёт из \(A\) в \(C\) через \(B\): \[ \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} =\vec a+\vec b. \]

3. Для \(\overrightarrow{BD}\) идём из \(B\) в \(D\) через \(A\): \[ \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}. \] Но \(\overrightarrow{BA}\) направлен противоположно \(\overrightarrow{AB}\), значит, \[ \overrightarrow{BD}=-\vec a+\vec b=\vec b-\vec a. \]

Проверка на координатах

Пусть \(A(0;0)\), \(B(2;0)\), \(D(0;3)\). Тогда \(C(2;3)\), \(\vec a=(2;0)\), \(\vec b=(0;3)\): \[ \overrightarrow{AC}=(2;3)=\vec a+\vec b, \] \[ \overrightarrow{BD}=(-2;3)=\vec b-\vec a. \] Всё совпадает.

Принцип: нужно идти по сторонам параллелограмма от начала вектора к концу; при движении против направления стороны вектор меняет знак.