Задание 2. Решите уравнение: 1) x³+5x²−16x−80=0; 2) x³+8x²=x+8; 3) x²−2x+√(7−x)=√(7−x)+48

Разберу каждое уравнение по шагам: идея → преобразования → отбор корней → проверка.

1) \(x^3+5x^2-16x-80=0\)

Идея: в многочлене четыре члена — раскладываем на множители способом группировки.

\[ x^3+5x^2-16x-80=(x^3+5x^2)-(16x+80)=x^2(x+5)-16(x+5) \]

Общий множитель \((x+5)\):

\[ (x+5)(x^2-16)=0 \]

Разность квадратов: \(x^2-16=(x-4)(x+4)\). Значит,

\[ (x+5)(x-4)(x+4)=0. \]

Корни: \(x=-5,\;x=4,\;x=-4\).

Проверка: при \(x=4\): \(64+80-64-80=0\). При \(x=-5\): \(-125+125+80-80=0\).

2) \(x^3+8x^2=x+8\)

Идея: сначала перенести всё в одну сторону, чтобы справа был ноль, затем сгруппировать.

\[ x^3+8x^2-x-8=0 \] \[ x^2(x+8)-(x+8)=0 \] \[ (x+8)(x^2-1)=0 \]

Отсюда \(x=-8\) или \(x^2=1\), то есть \(x=\pm1\).

Важно: нельзя делить обе части на \((x+8)\) — так теряется корень \(x=-8\).

Корни: \(-8,\;-1,\;1\).

3) \(x^2-2x+\sqrt{7-x}=\sqrt{7-x}+48\)

Шаг 1. ОДЗ. Подкоренное выражение неотрицательно: \(7-x\ge0\), то есть \(x\le7\).

Шаг 2. На ОДЗ \(\sqrt{7-x}\) — обычное число, поэтому его можно сократить в обеих частях:

\[ x^2-2x-48=0. \]

Шаг 3. По теореме Виета \(x_1+x_2=2\), \(x_1x_2=-48\), значит

\[ (x-8)(x+6)=0, \]

то есть \(x=8\) или \(x=-6\).

Шаг 4. Отбор по ОДЗ. \(8>7\) — не подходит, остаётся \(x=-6\).

Проверка: \(36+12+\sqrt{13}=\sqrt{13}+48\) — верно.

Ответ: \(-6\). Посторонний корень возник из-за того, что мы решали уравнение без учёта ограничения; именно поэтому ОДЗ проверяют всегда.

4) \(x(x^2+10x+25)=14(x+5)\)

Идея: заметить полный квадрат: \(x^2+10x+25=(x+5)^2\).

\[ x(x+5)^2-14(x+5)=0 \] \[ (x+5)\bigl(x(x+5)-14\bigr)=0 \] \[ (x+5)(x^2+5x-14)=0 \]

Квадратный трёхчлен раскладывается: \(x^2+5x-14=(x+7)(x-2)\) (сумма корней \(-5\), произведение \(-14\)).

\[ (x+5)(x+7)(x-2)=0 \]

Корни: \(-5,\;-7,\;2\).

Проверка: \(x=2\): левая часть \(2\cdot49=98\), правая \(14\cdot7=98\). \(x=-7\): левая \((-7)\cdot4=-28\), правая \(14\cdot(-2)=-28\).

5) \((x-3)(x^2+14x+49)=11(x+7)\)

Снова полный квадрат: \(x^2+14x+49=(x+7)^2\).

\[ (x-3)(x+7)^2-11(x+7)=0 \] \[ (x+7)\bigl((x-3)(x+7)-11\bigr)=0 \]

Раскрываем внутреннюю скобку:

\[ (x-3)(x+7)-11=x^2+4x-21-11=x^2+4x-32. \]

\[ x^2+4x-32=(x+8)(x-4) \]

Итак:

\[ (x+7)(x+8)(x-4)=0 \]

Корни: \(-7,\;-8,\;4\).

Проверка: \(x=4\): \(1\cdot121=121\) и \(11\cdot11=121\). \(x=-8\): \((-11)\cdot1=-11\) и \(11\cdot(-1)=-11\).

6) \((x^2-16)^2+(x^2+3x-28)^2=0\)

Идея: квадрат действительного числа неотрицателен, а сумма неотрицательных слагаемых равна нулю только тогда, когда каждое равно нулю.

\[ \begin{cases}x^2-16=0\\ x^2+3x-28=0\end{cases} \]

Первое: \(x=\pm4\). Второе: \((x+7)(x-4)=0\), то есть \(x=-7\) или \(x=4\).

Нужен корень, общий для обоих уравнений: \(x=4\).

Почему не подходят другие: при \(x=-4\) первая скобка нулевая, но вторая равна \(16-12-28=-24\), а \(0+576\ne0\). При \(x=-7\) наоборот.

Ответ: \(4\).

7) \(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{6}{x}-40=0\)

ОДЗ: \(x\ne0\).

Замена: в уравнение входит \(\frac1x\) и его квадрат, поэтому \(t=\frac1x\):

\[ t^2+6t-40=0. \]

Корни: \(4\) и \(-10\) (проверка Виета: \(4+(-10)=-6\), \(4\cdot(-10)=-40\)).

\[ (t-4)(t+10)=0 \]

Обратная замена:

\[ \frac1x=4\Rightarrow x=\frac14,\qquad \frac1x=-10\Rightarrow x=-\frac{1}{10}. \]

Оба значения входят в ОДЗ.

Проверка: \(x=\frac14\): \(16+24-40=0\). \(x=-\frac{1}{10}\): \(100-60-40=0\).

8) \(\dfrac{1}{(x-3)^2}-\dfrac{7}{x-3}-18=0\)

ОДЗ: \(x\ne3\).

Замена: \(t=\dfrac{1}{x-3}\), тогда первое слагаемое — это \(t^2\):

\[ t^2-7t-18=0 \] \[ (t-9)(t+2)=0 \]

Обратная замена:

\[ \frac{1}{x-3}=9\Rightarrow x-3=\frac19\Rightarrow x=3+\frac19=\frac{28}{9}; \] \[ \frac{1}{x-3}=-2\Rightarrow x-3=-\frac12\Rightarrow x=3-\frac12=\frac52. \]

Проверка: \(x=\frac52\), тогда \(x-3=-\frac12\): \(4+14-18=0\). \(x=\frac{28}{9}\), тогда \(x-3=\frac19\): \(81-63-18=0\).

9) \((x+5)^4+(x+5)^2-12=0\)

Идея: выражение \((x+5)\) встречается и в квадрате, и в четвёртой степени. Обозначим \(t=(x+5)^2\). Тогда \((x+5)^4=t^2\), причём \(t\ge0\).

\[ t^2+t-12=0 \] \[ (t+4)(t-3)=0 \]

\(t=-4\) отбрасываем (квадрат не бывает отрицательным), остаётся \(t=3\):

\[ (x+5)^2=3 \] \[ x+5=\pm\sqrt3 \] \[ x=-5\pm\sqrt3. \]

Проверка: при \((x+5)^2=3\) получаем \(9+3-12=0\).

10) \(x^4=(x-42)^2\)

Идея: перенести влево и применить формулу разности квадратов \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), где \(a=x^2\), \(b=x-42\).

\[ x^4-(x-42)^2=0 \] \[ \bigl(x^2-(x-42)\bigr)\bigl(x^2+(x-42)\bigr)=0 \]

Первая скобка:

\[ x^2-x+42=0,\qquad D=1-168=-167<0 \]

действительных корней нет.

Вторая скобка:

\[ x^2+x-42=0,\qquad (x+7)(x-6)=0, \]

откуда \(x=-7\) или \(x=6\).

Проверка: \(x=6\): \(1296=(-36)^2\). \(x=-7\): \(2401=(-49)^2\).

Итог

№	Корни
1	\(-5,\,-4,\,4\)
2	\(-8,\,-1,\,1\)
3	\(-6\)
4	\(-7,\,-5,\,2\)
5	\(-8,\,-7,\,4\)
6	\(4\)
7	\(-\frac{1}{10},\,\frac14\)
8	\(\frac52,\,\frac{28}{9}\)
9	\(-5-\sqrt3,\,-5+\sqrt3\)
10	\(-7,\,6\)

Общие приёмы, которые здесь отрабатываются: группировка (№1, 2), выделение полного квадрата и вынесение общего множителя без деления на него (№4, 5), учёт ОДЗ при корнях (№3), сумма квадратов (№6), замена переменной (№7–9), разность квадратов (№10).