Алгебраическая форма Геометрическая форма Тригонометрическая форма Показательная форма; z = 3(√2/2 − i√2/2)
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Таблица из четырёх столбцов.
Алгебраическая форма: \(z = a + b\cdot i\).
\[ z = 3\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\sqrt{2}}{2} - i\frac{3\sqrt{2}}{2} \]
\[ a = \frac{3\sqrt{2}}{2} \]
\[ b = \frac{3\sqrt{2}}{2} \]
Геометрическая форма: [Рисунок: оси \(a\) (горизонтальная) и \(b\) (вертикальная); из начала координат проведён вектор в четвёртую четверть; на горизонтальной оси отмечено \(\frac{3\sqrt{2}}{2}\), на вертикальной — \(-\frac{3\sqrt{2}}{2}\); рядом с концом вектора подпись \(Z\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}; \frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\); вверху справа — \(Z(a;b)\)].
Тригонометрическая форма: \(z = r\cdot(\cos\varphi + i\cdot\sin\varphi)\).
\(r = 3\), \(\varphi = 315^\circ\), \(z = 3(\cos315^\circ + i\cdot\sin315^\circ)\).
Показательная форма: \(z = r\cdot e^{i\varphi}\).
\[ z = 3\cdot e^{i\frac{7\pi}{4}} \]
Краткий ответ
Для числа
\[
z=3\left(\frac{\sqrt2}{2}-i\frac{\sqrt2}{2}\right)
\]
таблица заполняется так:
\[
z=\frac{3\sqrt2}{2}-i\frac{3\sqrt2}{2},\qquad a=\frac{3\sqrt2}{2},\quad b=-\frac{3\sqrt2}{2};
\]
\[
r=3,\qquad \varphi=315^\circ=\frac{7\pi}{4};
\]
\[
z=3(\cos315^\circ+i\sin315^\circ)=3e^{i\frac{7\pi}{4}}.
\]
На комплексной плоскости это точка
\[
Z\left(\frac{3\sqrt2}{2};-\frac{3\sqrt2}{2}\right),
\]
она находится в IV четверти.
Ключевые шаги
Алгебраическая форма. Раскрываем скобки: \[ z=3\cdot\frac{\sqrt2}{2}-3i\cdot\frac{\sqrt2}{2} =\frac{3\sqrt2}{2}-i\frac{3\sqrt2}{2}. \] В записи \(z=a+bi\) коэффициент \(a\) — это число без \(i\), а \(b\) — коэффициент при \(i\). Поэтому \[ a=\frac{3\sqrt2}{2},\qquad b=-\frac{3\sqrt2}{2}. \] Минус относится именно к \(b\), ведь перед \(i\) стоит знак минус.
Модуль. Он находится по формуле \(r=\sqrt{a^2+b^2}\): \[ r=\sqrt{\left(\frac{3\sqrt2}{2}\right)^2+\left(-\frac{3\sqrt2}{2}\right)^2} =\sqrt{\frac{9}{2}+\frac{9}{2}} =\sqrt{9}=3. \]
Аргумент. Используем \[ \cos\varphi=\frac{a}{r},\qquad \sin\varphi=\frac{b}{r}. \] Получаем \[ \cos\varphi=\frac{\sqrt2}{2},\qquad \sin\varphi=-\frac{\sqrt2}{2}. \] Такой угол лежит в IV четверти. Опорный угол равен \(45^\circ\), поэтому \[ \varphi=-45^\circ \] или, если считать против часовой стрелки, \[ \varphi=360^\circ-45^\circ=315^\circ. \] Оба ответа равносильны: аргумент определён с точностью до \(2\pi k\).
Тригонометрическая и показательная формы. Подставляем \(r=3\) и \(\varphi=315^\circ\): \[ z=3(\cos315^\circ+i\sin315^\circ). \] В показательной форме угол должен быть в радианах: \[ 315^\circ=\frac{7\pi}{4}, \] поэтому \[ z=3e^{i\frac{7\pi}{4}}. \]
Проверка
Так как \[ \cos315^\circ=\frac{\sqrt2}{2},\qquad \sin315^\circ=-\frac{\sqrt2}{2}, \] то \[ 3(\cos315^\circ+i\sin315^\circ) =3\left(\frac{\sqrt2}{2}-i\frac{\sqrt2}{2}\right), \] то есть получается исходное число. Значит, все четыре записи описывают одно и то же комплексное число.
Как действовать с похожим числом
- Приведи число к виду \(a+bi\).
- Найди модуль \(r=\sqrt{a^2+b^2}\).
- Определи четверть по знакам \(a\) и \(b\), затем найди угол из \(\cos\varphi=\frac{a}{r}\), \(\sin\varphi=\frac{b}{r}\).
- Запиши тригонометрическую форму \(r(\cos\varphi+i\sin\varphi)\).
- Для показательной формы переведи угол в радианы и запиши \(re^{i\varphi}\).
