Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ
\[ x^{2}-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=2,\; x_{2}=3 \]
Ответ: \(x=2\) или \(x=3\).
Как это получается
Способ 1. Разложение на множители (самый быстрый).
Ищем два числа, у которых сумма равна \(5\), а произведение равно \(6\). Это \(2\) и \(3\), потому что \(2+3=5\) и \(2\cdot 3=6\). Значит:
\[ x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Уравнение превращается в \((x-2)(x-3)=0\). Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \;\text{или}\; x-3=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \;\text{или}\; x=3 \]
Способ 2. Через дискриминант (работает всегда).
Для \(ax^{2}+bx+c=0\) здесь \(a=1,\; b=-5,\; c=6\):
\[ D=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]
\[ x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2} \]
То есть \(x=\frac{5+1}{2}=3\) и \(x=\frac{5-1}{2}=2\).
Проверка
\[ 3^{2}-5\cdot 3+6=9-15+6=0 \]
\[ 2^{2}-5\cdot 2+6=4-10+6=0 \]
Оба корня подходят.
Принцип для похожих заданий
- Если уравнение приведённое (\(a=1\)), сначала пробуй подобрать два числа: их сумма равна \(-b\), произведение равно \(c\).
- Если подобрать не получается — считай дискриминант: \(D>0\) — два корня, \(D=0\) — один корень, \(D<0\) — корней нет.
- Всегда подставляй найденные корни в исходное уравнение — так ошибку видно сразу.
