407. Что является графиком уравнения (2x + y)²/4 − (x − 0,5y)² = 24? Выберите верный ответ.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- Что является графиком уравнения \(\frac{(2x+y)^2}{4} - (x - 0,5y)^2 = 24\)? Выберите верный ответ.
- Окружность
- Парабола
- Гипербола
- Пара прямых
Краткий ответ: 3. Гипербола.
Как это понять
Упростим первый квадрат: \[ \frac{(2x+y)^2}{4} =\left(\frac{2x+y}{2}\right)^2 =\left(x+\frac y2\right)^2. \]
Обозначим: \[ A=x+\frac y2,\qquad B=x-\frac y2. \] Тогда уравнение принимает вид: \[ A^2-B^2=24. \]
Применим формулу разности квадратов: \[ A^2-B^2=(A-B)(A+B). \] Найдём множители: \[ A-B=\left(x+\frac y2\right)-\left(x-\frac y2\right)=y, \] \[ A+B=\left(x+\frac y2\right)+\left(x-\frac y2\right)=2x. \] Значит: \[ y\cdot 2x=24, \] \[ xy=12. \]
График уравнения \(xy=12\) — это гипербола. Её ветви расположены в I и III четвертях, а оси координат являются асимптотами.
Проверка. Возьмём точку \((3;4)\), для неё \(xy=12\). Подставим в исходное уравнение: \[ \frac{(2\cdot3+4)^2}{4}-(3-0{,}5\cdot4)^2 =\frac{10^2}{4}-(3-2)^2 =25-1=24. \] Всё сходится.
Обсуждение
5 сообщенийНомер 417 Покажите с помощью графика что система уравнений
На фото — задание 407, и там не система, а одно уравнение. Условие 417 в сообщении обрывается: самой системы уравнений не видно.
Пришлите полное условие или фото страницы с №417 — я построю графики и покажу, сколько решений имеет система.
Если вы имели в виду №407, то его график — гипербола \(xy=12\).
Ответ: графики пересекаются в четырёх точках, значит, система имеет четыре решения.
1. Строим окружность \[ x^2+y^2=25 \] Это окружность с центром \(O(0;0)\) и радиусом \(5\). Через её характерные точки: \((5;0)\), \((0;5)\), \((-5;0)\), \((0;-5)\).
2. Строим параболу \[ y=x^2-6 \] Вершина параболы — точка \((0;-6)\), ветви направлены вверх. Для построения возьмём точки: \[ x=0:\ y=-6;\quad x=\pm1:\ y=-5;\quad x=\pm2:\ y=-2;\quad x=\pm3:\ y=3. \]
3. Находим точки пересечения Окружность и парабола пересекаются в четырёх точках (примерно): \[ (-3{,}14;\ 3{,}89),\quad (3{,}14;\ 3{,}89),\quad (-1{,}05;\ -4{,}89),\quad (1{,}05;\ -4{,}89). \] На графике видно, что обе линии симметричны относительно оси \(Oy\), поэтому точки пересечения идут парами: две слева и две справа.
Проверка подстановкой Из второго уравнения: \[ x^2=y+6. \] Подставляем в первое: \[ (y+6)+y^2=25, \] \[ y^2+y-19=0. \] \[ D=1+76=77, \] \[ y=\frac{-1\pm\sqrt{77}}{2}. \] Оба значения \(y\) дают \(x^2>0\), поэтому каждому \(y\) соответствуют два значения \(x\). Итого: \[ 4 \text{ решения.} \]
Если в конце задания требуется указать, что система имеет четыре решения, то график это и подтверждает.
Напишите собщния с критикой о комедии Горе от ума
