Записать комплексные числа z₁ и z₂ в тригонометрической, показательной и геометрической форме. 1) z₁ = -9i; 2) z₂ = 2 + 2i

Краткий ответ

1. Для \(z_1=-9i\): \[ |z_1|=9,\qquad \varphi_1=-\frac{\pi}{2}. \] Тригонометрическая форма: \[ z_1=9\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right). \] Показательная форма: \[ z_1=9e^{-i\pi/2}. \] Геометрически это точка \(M_1(0;-9)\) или вектор из начала координат в эту точку — вниз по мнимой оси, длина \(9\).

Если аргумент принято брать в промежутке \([0;2\pi)\), то вместо \(-\frac{\pi}{2}\) пишут \(\frac{3\pi}{2}\): \[ z_1=9\left(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}\right)=9e^{3\pi i/2}. \]

2. Для \(z_2=2+2i\): \[ |z_2|=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt2,\qquad \varphi_2=\frac{\pi}{4}. \] Тригонометрическая форма: \[ z_2=2\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right). \] Показательная форма: \[ z_2=2\sqrt2\,e^{i\pi/4}. \] Геометрически это точка \(M_2(2;2)\) или вектор из начала координат в неё: длина \(2\sqrt2\), угол с положительным направлением действительной оси \(45^\circ\).

Как это получать

Для числа в алгебраической форме \(z=a+bi\):

\[ r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}, \] а аргумент \(\varphi\) ищут из условий \[ \cos\varphi=\frac{a}{r},\qquad \sin\varphi=\frac{b}{r}. \] Важно учитывать четверть, в которой находится точка \((a;b)\).

• У \(z_2=2+2i\): \(a=2\), \(b=2\), поэтому \(r=2\sqrt2\), а \(\cos\varphi=\sin\varphi=\frac{1}{\sqrt2}\), значит \(\varphi=\frac{\pi}{4}\).
• У \(z_1=-9i\): \(a=0\), \(b=-9\), точка лежит на отрицательной мнимой оси, поэтому \(\varphi=-\frac{\pi}{2}\) или \(\frac{3\pi}{2}\).

Проверка: \[ 2\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2}\right)=2+2i, \] \[ 9\left(0+i(-1)\right)=-9i. \]