Выделите квадрат двучлена из квадратного трёхчлена: а) x² − 10x + 10; б) x² + 3x − 1; в) 3x² + 6x − 3; г) 1/4 x² − x + 2.

Краткий ответ

• а) \(x^2-10x+10=(x-5)^2-15\);
• б) \(x^2+3x-1=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{13}{4}\);
• в) \(3x^2+6x-3=3(x+1)^2-6\);
• г) \(\frac{1}{4}x^2-x+2=\frac{1}{4}(x-2)^2+1\), или \(\left(\frac{x}{2}-1\right)^2+1\).

Как выделять квадрат двучлена

Для выражения \(x^2+px+q\) используют формулу: \[ x^2+px+q=\left(x+\frac{p}{2}\right)^2+q-\frac{p^2}{4}. \]

То есть половину коэффициента при \(x\) записываем в скобку, а квадрат этой половины вычитаем, чтобы значение выражения не изменилось.

Если перед \(x^2\) стоит не \(1\), сначала удобно вынести этот коэффициент.

Подробные шаги

а) \[ x^2-10x+10=(x-5)^2-25+10=(x-5)^2-15. \]

б) \[ x^2+3x-1=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}-1 =\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{13}{4}. \]

в) \[ 3x^2+6x-3=3(x^2+2x-1) =3\bigl((x+1)^2-2\bigr) =3(x+1)^2-6. \]

г) \[ \frac{1}{4}x^2-x+2 =\frac{1}{4}(x^2-4x+8) =\frac{1}{4}\bigl((x-2)^2+4\bigr) =\frac{1}{4}(x-2)^2+1. \]

Проверка

Раскроем скобки в пункте г): \[ \frac{1}{4}(x-2)^2+1 =\frac{1}{4}(x^2-4x+4)+1 =\frac{1}{4}x^2-x+1+1 =\frac{1}{4}x^2-x+2. \]

Получился исходный трёхчлен. Остальные ответы проверяются так же раскрытием скобок.