Как читать этот разбор

Ниже — объяснение всех тем алгебры 10 класса, а не список. Для каждого блока: суть → ключевые формулы → разобранный пример → типичная ловушка. Каркас общий для всех учебников; отличие одно: в учебниках Алимова, Колягина в 10 классе добавляются показательная и логарифмическая функции — они в блоке 3 (если у тебя Мордкович, этот блок у тебя будет в 11 классе, но прочитать полезно).

---

Блок 1. Функция и её свойства

Суть. Функция — правило, по которому каждому \(x\) из области определения \(D(f)\) ставится в соответствие ровно одно \(y\).

Читать любую функцию нужно по шести вопросам:

1. \(D(f)\) — что можно подставлять;
2. \(E(f)\) — какие значения получаются;
3. нули (\(f(x)=0\)) и промежутки знакопостоянства;
4. монотонность (возрастание/убывание);
5. наибольшее и наименьшее значение;
6. чётность/нечётность, периодичность.

Преобразования графиков — то, что экономит половину работы:

Запись	Что происходит с графиком
\(y = f(x) + b\)	сдвиг вверх на \(b\)
\(y = f(x + a)\)	сдвиг влево на \(a\)
\(y = k\,f(x)\)	растяжение по вертикали в \(k\) раз
\(y = f(kx)\)	сжатие по горизонтали в \(k\) раз

Пример. \(y = (x-2)^2 - 3\). Это парабола \(y = x^2\), сдвинутая на 2 вправо и на 3 вниз. Вершина \((2; -3)\), \(D(f) = \mathbb{R}\), \(E(f) = [-3; +\infty)\), убывает на \((-\infty; 2]\), возрастает на \([2; +\infty)\).

Ловушка. \(f(x+2)\) сдвигает влево, хотя «плюс» — почти все сначала делают наоборот. Проверка: при \(x = -2\) получаем \(f(0)\), то есть старая точка переехала в \(-2\).

---

Блок 2. Корень \(n\)-й степени и степенная функция

Суть. \(\sqrt[n]{a}\) — это такое неотрицательное число, \(n\)-я степень которого равна \(a\) (для чётного \(n\) требуется \(a \ge 0\)).

Ключевые факты:

• \(\sqrt[3]{-8} = -2\), но \(\sqrt{-4}\) не существует;
• \(\sqrt[n]{a^n} = a\) при нечётном \(n\), и \(\sqrt[n]{a^n} = |a|\) при чётном;
• \(a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}\) при \(a > 0\);
• \(\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\), \(\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\);
• \(\left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a\).

Пример. Упростить \(\dfrac{\sqrt[3]{a^7}}{\sqrt[3]{a}}\) при \(a > 0\): \[ \frac{\sqrt[3]{a^7}}{\sqrt[3]{a}} = \sqrt[3]{\frac{a^7}{a}} = \sqrt[3]{a^6} = a^2. \]

Ловушка. \(\sqrt{(-5)^2} = 5\), а не \(-5\). Модуль теряют чаще всего.

---

Блок 3. Показательная и логарифмическая функции

Суть. \(y = a^x\) при \(a > 0,\ a \ne 1\). Если \(a > 1\) — возрастает, если \(0 < a < 1\) — убывает. Логарифм — обратная операция: \[ \log_a b = x \iff a^x = b \quad (b > 0). \]

Свойства логарифмов: \[ \log_a(xy) = \log_a x + \log_a y,\qquad \log_a\frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y, \] \[ \log_a x^p = p\log_a x,\qquad \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}. \]

Пример 1. \(\log_2 40 - \log_2 5 = \log_2 \dfrac{40}{5} = \log_2 8 = 3\).

Пример 2. \(2^{x+1} = 16 \Rightarrow 2^{x+1} = 2^4 \Rightarrow x+1 = 4 \Rightarrow x = 3\).

Ловушка. \(\log_a(x+y) \ne \log_a x + \log_a y\). Складываются логарифмы произведения, а не суммы.

---

Блок 4. Тригонометрия: определения и окружность

Суть. Всё держится на одном образе: единичная окружность и точка на ней. Угол \(x\) (в радианах, \(180^\circ = \pi\)) задаёт точку \[ M(x) = (\cos x;\ \sin x). \] То есть \(\cos x\) — абсцисса, \(\sin x\) — ордината, а \(\operatorname{tg} x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\).

Что сразу следует из картинки:

• \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) — это теорема Пифагора для радиуса 1;
• знаки: I четверть — обе функции \(+\), II — \(\sin > 0,\ \cos < 0\), III — обе \(-\), IV — \(\sin < 0,\ \cos > 0\);
• \(\sin\) и \(\cos\) периодичны с периодом \(2\pi\), \(\operatorname{tg}\) и \(\operatorname{ctg}\) — с \(\pi\);
• \(\sin(-x) = -\sin x\), \(\cos(-x) = \cos x\);
• \(-1 \le \sin x \le 1\), \(-1 \le \cos x \le 1\).

Таблица, которую нужно знать наизусть:

\(x\)	\(0\)	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{\pi}{2}\)
\(\sin x\)	\(0\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt2}{2}\)	\(\frac{\sqrt3}{2}\)	\(1\)
\(\cos x\)	\(1\)	\(\frac{\sqrt3}{2}\)	\(\frac{\sqrt2}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(0\)

Формулы приведения. Если в скобках \(\frac{\pi}{2} \pm x\) или \(\frac{3\pi}{2} \pm x\) — функция меняется на кофункцию (\(\sin \leftrightarrow \cos\)); если \(\pi \pm x\) или \(2\pi \pm x\) — не меняется. Знак берётся по четверти исходного угла.

Пример. \(\cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right)\). Аргумент в III четверти, косинус там отрицательный; \(\frac{3\pi}{2}\) меняет функцию на синус. Итог: \(-\sin x\).

Графики. Синусоида и косинусоида — одна и та же волна со сдвигом на \(\frac{\pi}{2}\); у тангенсоиды вертикальные асимптоты \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\).

Ловушка. Учить таблицу отдельно от окружности. Тогда на \(\frac{5\pi}{6}\) память отказывает, а по картинке ответ получается сам.

---

Блок 5. Тригонометрические уравнения

Суть. Обратные функции дают «главный» ответ, а периодичность — все остальные.

\[ \arccos a \in [0;\pi],\quad \arcsin a \in \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right],\quad \operatorname{arctg} a \in \left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right). \]

Три формулы решений:

\[ \cos x = a \Rightarrow x = \pm\arccos a + 2\pi k,\quad |a| \le 1 \] \[ \sin x = a \Rightarrow x = (-1)^k \arcsin a + \pi k,\quad |a| \le 1 \] \[ \operatorname{tg} x = a \Rightarrow x = \operatorname{arctg} a + \pi k \]

Пример. \(2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0\).

Замена \(t = \cos x\), причём \(|t| \le 1\): \[ 2t^2 - 3t + 1 = 0 \Rightarrow t_1 = 1,\quad t_2 = \tfrac{1}{2}. \] Оба значения допустимы.

• \(\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi k\);
• \(\cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k\).

Основные методы: сведение к одной функции, разложение на множители, однородные уравнения (делим на \(\cos x\) или \(\cos^2 x\)), замена \(t = \sin x \pm \cos x\) или \(t = \sin x\cos x\).

Ловушки. Потерять множитель \((-1)^k\); забыть проверить \(|a| \le 1\); не отобрать корни, если задан промежуток.

---

Блок 6. Преобразование тригонометрических выражений

Суть. Все формулы выводятся из формул сложения — их достаточно понять один раз.

\[ \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta \] \[ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta \]

Следствия — двойной угол: \[ \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha \] \[ \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 \]

Понижение степени (работает в обратную сторону от двойного угла): \[ \sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2},\qquad \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} \]

Сумма в произведение: \[ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \]

Пример. \(\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2} + \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}\).

Ловушка. Применять формулу двойного угла к \(\sin 2\alpha\), считая, что это «синус в квадрате». \(\sin^2\alpha\) и \(\sin 2\alpha\) — разные вещи.

---

Блок 7. Производная и её применение

Суть. Производная — скорость изменения функции, а геометрически — угловой коэффициент касательной: \[ f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}. \]

Правила и таблица: \[ (x^n)' = n x^{n-1},\qquad (\sin x)' = \cos x,\qquad (\cos x)' = -\sin x \] \[ (f+g)' = f' + g',\qquad (fg)' = f'g + fg',\qquad \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} \]

Что даёт производная:

• \(f' > 0\) — функция возрастает, \(f' < 0\) — убывает;
• в точке экстремума \(f' = 0\) (или не существует); смена знака с \(+\) на \(-\) даёт максимум, с \(-\) на \(+\) — минимум;
• уравнение касательной: \(y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)\);
• наибольшее/наименьшее значение на отрезке ищут среди критических точек и концов отрезка.

Пример. \(f(x) = x^3 - 3x\). \[ f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1). \] Нули производной: \(x = -1\) и \(x = 1\). Знаки: \(+\), затем \(-\), затем \(+\). Значит \(x = -1\) — точка максимума, \(f(-1) = 2\); \(x = 1\) — точка минимума, \(f(1) = -2\). Функция возрастает на \((-\infty;-1]\) и на \([1;+\infty)\), убывает на \([-1;1]\).

Ловушки. Путать «\(f' > 0\)» с «функция положительна»; забывать концы отрезка в задачах на наибольшее значение; не проверять смену знака и объявлять экстремум по одному нулю производной.

---

Нужно ли учить всё сразу

Нет. Порядок, при котором темы цепляются друг за друга:

1. функция и графики (блок 1) — база для всего;
2. корни и степени (блок 2);
3. окружность и определения (блок 4) — до уравнений и формул;
4. уравнения (блок 5);
5. преобразования выражений (блок 6);
6. производная (блок 7);
7. логарифмы (блок 3) — можно в любой момент, они автономны.

Критерий «понял» для каждого блока: можешь без подсказки решить похожую задачу с другими числами и объяснить вслух, почему применил именно эту формулу.

Скажи, какой у тебя учебник и какой блок идёт в школе сейчас, — разберу его подробнее, с задачами от простых к сложным и проверкой каждого шага.