Вариант 4 1. Представьте в виде дроби:
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Вариант 4
- Представьте в виде дроби: а) \(\frac{14a^4}{9b^5}\cdot\frac{3b^2}{7a^3}\); б) \(\frac{a^8}{6b^3}:\frac{5b^2}{a^7}\); в) \(\frac{3a-9}{a+2}:\frac{a^2-9}{a^2-4}\); г) \(\frac{3x+y}{y}\cdot\left(\frac{y}{x}-\frac{3y}{3x+y}\right)\).
- Постройте график функции \(y=-\frac{4}{x}\). Какова область определения функции? При каких значениях \(x\) функция принимает отрицательные значения?
- Докажите, что при всех значениях \(a\ne\pm5\) значение выражения \(\left(\frac{3}{25-a^2}+\frac{1}{a^2-10a+25}\right)\cdot\frac{(5-a)^2}{2}+\frac{3a}{a+5}\) не зависит от \(a\).
- При каких значениях \(y\) имеет смысл выражение \(\frac{5y}{2-\frac{7}{6+2y}}\)?
а) \(\frac{14a^4}{9b^5}\cdot\frac{3b^2}{7a^3}=\frac{2a}{3b^3}\); б) \(\frac{a^8}{6b^3}:\frac{5b^2}{a^7}=\frac{a^{15}}{30b^5}\); в) \(\frac{3a-9}{a+2}:\frac{a^2-9}{a^2-4}=\frac{3(a-2)}{a+3}\) \(\ (a\ne\pm2,\pm3)\); г) \(\frac{3x+y}{y}\left(\frac{y}{x}-\frac{3y}{3x+y}\right)=\frac{y}{x}\).
\(D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)\). Отрицательные значения: при \(x>0\). График \(y=-\frac4x\) — гипербола во II и IV четвертях; точки: \((-4;1),(-2;2),(-1;4),(1;-4),(2;-2),(4;-1)\).
\[ \left(\frac{3}{25-a^2}+\frac{1}{(a-5)^2}\right)\frac{(a-5)^2}{2}+\frac{3a}{a+5} =\frac{10-a}{a+5}+\frac{3a}{a+5}=2. \] Значение равно \(2\), поэтому от \(a\) не зависит.
\(y\ne-3,\quad y\ne-\frac54\). То есть \(y\in(-\infty;-3)\cup\left(-3;-\frac54\right)\cup\left(-\frac54;+\infty\right)\).
Обсуждение
2 сообщения1. а) \(\frac{14a^2}{a^5}\cdot\frac{a^3}{56a^4}=\frac{1}{4a^4}\);
б) \(\frac{45a^3b}{30a^4b^2}=\frac{3}{2ab}\);
в) \(\frac{3a-9}{a+2}:\frac{a^2-9}{a^2-4}=\frac{3(a-2)}{a+3}\);
г) \(\frac{3x+y}{y}\left(\frac{y}{x-3y}-\frac{3y}{x-3y}\right)=-\frac{2(3x+y)}{x-3y}\).
2. \(y=-\frac{4}{x}\).
Область определения: \(x\ne0\), то есть \((-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
Отрицательные значения: при \(x>0\).
График — гипербола во II и IV четвертях; проходит через точки \((1;-4),(2;-2),(4;-1)\) и \((-1;4),(-2;2),(-4;1)\).
3. При \(a\ne\pm5\): \[ 25-a^2=(5-a)(5+a),\qquad a^2-10a+25=(5-a)^2. \] \[ \left(\frac{3}{(5-a)(5+a)}+\frac{1}{(5-a)^2}\right)\cdot\frac{(5-a)^2}{2} =\frac{10-a}{a+5}. \] Тогда всё выражение равно \[ \frac{10-a}{a+5}+\frac{3a}{a+5} =\frac{10+2a}{a+5}=2. \] Значит, оно не зависит от \(a\).
4. \[ y\ne -3,\qquad y\ne-\frac54, \] \[ \frac{5y}{2-\frac{7}{6+2y}} =\frac{10y(y+3)}{4y+5}\ge0. \] Отсюда \[ y\in\left(-3;-\frac54\right)\cup[0;+\infty). \]
