618. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

Краткий ответ

• а) \(2x^2-2x+\frac12=2\left(x-\frac12\right)^2=\frac12(2x-1)^2\);
• б) \(-9x^2+12x-4=-9\left(x-\frac23\right)^2=-(3x-2)^2\);
• в) \(16a^2+24a+9=16\left(a+\frac34\right)^2=(4a+3)^2\);
• г) \(0{,}25m^2-2m+4=0{,}25(m-4)^2=(0{,}5m-2)^2\).

Почему так

Для квадратного трёхчлена \(Au^2+Bu+C\) сначала находят дискриминант: \[ D=B^2-4AC. \] Если \(D=0\), у трёхчлена один корень: \[ u_0=-\frac{B}{2A}. \] Тогда \[ Au^2+Bu+C=A(u-u_0)^2. \]

Во всех четырёх примерах дискриминант равен нулю, поэтому получается квадрат разности или суммы.

Вычисления

• а) \(D=(-2)^2-4\cdot2\cdot\frac12=0\), \(x_0=\frac{2}{4}=\frac12\).
  Значит, \(2x^2-2x+\frac12=2\left(x-\frac12\right)^2\).

• б) \(D=12^2-4\cdot(-9)\cdot(-4)=0\), \(x_0=\frac{-12}{-18}=\frac23\).
  Значит, \(-9x^2+12x-4=-9\left(x-\frac23\right)^2\).

• в) \(D=24^2-4\cdot16\cdot9=0\), \(a_0=-\frac{24}{32}=-\frac34\).
  Значит, \(16a^2+24a+9=16\left(a+\frac34\right)^2\).

• г) \(D=(-2)^2-4\cdot0{,}25\cdot4=0\), \(m_0=\frac{2}{0{,}5}=4\).
  Значит, \(0{,}25m^2-2m+4=0{,}25(m-4)^2\).

Проверка

Например, \[ \frac12(2x-1)^2=2x^2-2x+\frac12, \] \[ (4a+3)^2=16a^2+24a+9. \] Остальные равенства проверяются так же раскрытием квадрата.