№4.11 Укажите решение неравенства: \((x-3)(x+8)<0\) 1. \((-8;3)\) 2. \((-\infty;-8)\cup(3;+\infty)\) 3. \([-8;3]\) 4. \((-3;8)\) №4.12 Укажите решение неравенства: \((x+6)(x-5)\ge…

№4.11. \((x-3)(x+8)<0\)

1. Находим нули произведения: \[ (x-3)(x+8)=0 \;\Rightarrow\; x_1=3,\quad x_2=-8. \]

2. Отмечаем точки на числовой прямой (выколотые, т.к. неравенство строгое) и разбиваем её на промежутки: \[ (-\infty;-8),\quad (-8;3),\quad (3;+\infty). \]

3. Определяем знак выражения на каждом промежутке. Раскроем скобки: \[ (x-3)(x+8)=x^2+5x-24. \] Это парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при \(x^2\) равен \(1>0\)), поэтому:

• при \(x<-8\): выражение \(>0\) (например, \(x=-10\): \((-13)(-2)=26>0\));
• при \(-8<x<3\): выражение \(<0\) (например, \(x=0\): \((-3)(8)=-24<0\));
• при \(x>3\): выражение \(>0\) (например, \(x=4\): \(1\cdot12=12>0\)).

4. Выбираем промежуток со знаком «минус» (неравенство «\(<0\)»), концы не включаем: \[ x\in(-8;\,3). \]

Ответ: 1) \((-8;\,3)\).

№4.12. \((x+6)(x-5)\ge 0\)

1. Нули: \[ (x+6)(x-5)=0 \;\Rightarrow\; x_1=-6,\quad x_2=5. \]

2. Наносим точки на числовую прямую (включённые, т.к. неравенство нестрогое «\(\ge\)»): \[ (-\infty;-6],\quad [-6;5],\quad [5;+\infty). \]

3. Знаки выражения. Раскроем скобки: \[ (x+6)(x-5)=x^2+x-30. \] Парабола с ветвями вверх, значит:

• при \(x<-6\): выражение \(>0\) (например, \(x=-7\): \((-1)(-12)=12>0\));
• при \(-6<x<5\): выражение \(<0\) (например, \(x=0\): \(6\cdot(-5)=-30<0\));
• при \(x>5\): выражение \(>0\) (например, \(x=6\): \(12\cdot1=12>0\)).

4. Берём промежутки со знаком «плюс» и включаем нули (неравенство «\(\ge 0\)»): \[ x\in(-\infty;\,-6]\cup[5;\,+\infty). \]

Ответ: 1) \((-\infty;\,-6]\cup[5;\,+\infty)\).

Общее правило (метод интервалов): для \((x-a)(x-b)\) с \(a<b\):

• \((x-a)(x-b)<0 \Rightarrow x\in(a;b)\);
• \((x-a)(x-b)\ge 0 \Rightarrow x\in(-\infty;a]\cup[b;+\infty)\).