сделай первый вариант первое задание

Ниже — решения всех заданий варианта 1.

1. Область определения: \[ x+6{,}7>0 \quad\Rightarrow\quad x>-6{,}7. \] Число \(-7\) не больше \(-6{,}7\), поэтому не принадлежит области определения.

Ответ: Г (\(-7\)).

2. Чётная функция должна удовлетворять условию \(y(-x)=y(x)\). Подходит: \[ y=x^2+1. \]

Ответ: В.

3. Проверяем равенства: \[ \sqrt[4]{16}=2\ne4, \] \[ \sqrt[5]{-1}=-1 \quad\text{— верно,} \] \[ \sqrt[5]{3{,}2}\ne0{,}2, \] \[ \sqrt[3]{2}\ne8. \]

Ответ: Б.

4. \[ \sqrt[3]{27\cdot0{,}001} =\sqrt[3]{27}\cdot\sqrt[3]{0{,}001} =3\cdot0{,}1=0{,}3. \]

Ответ: Г.

5. \[ f(81)=81^{-0{,}75}=81^{-\frac34} =\frac{1}{(\sqrt[4]{81})^3} =\frac{1}{3^3} =\frac{1}{27}. \]

Ответ: А.

6. Функция \[ f(x)=x^{\frac37} \] возрастает при \(x>0\), так как показатель \(\frac37>0\). Поэтому из \(2{,}8<3{,}7\) следует: \[ f(2{,}8)<f(3{,}7). \]

Ответ: Б.

7. Области определения:

1. \(y=x^8\) — все действительные числа: Г;
2. \(y=x^{\frac12}\) — \(x\ge0\): Б;
3. \(y=x^{-5}=\frac{1}{x^5}\) — \(x\ne0\): Д;
4. \(y=x^{\frac13}\) — все действительные числа: Г.

Ответ: 1 — Г, 2 — Б, 3 — Д, 4 — Г.

8.

1. Находим показатель: \[ \alpha=-5^{1{,}5}\cdot25^{\frac54} =-5^{\frac32}\cdot(5^2)^{\frac54} =-5^{\frac32}\cdot5^{\frac52} =-5^4=-625. \]

2. Строим эскиз графика: \[ y=x^{-625}=\frac{1}{x^{625}}. \]

Свойства графика:

• область определения: \(x\ne0\);
• область значений: \(y\ne0\);
• функция нечётная;
• убывает на каждом из промежутков \((-\infty;0)\) и \((0;+\infty)\);
• прямые \(x=0\) и \(y=0\) являются асимптотами;
• проходит через точки \((1;1)\) и \((-1;-1)\).

Эскиз: две ветви в I и III координатных четвертях, похожие на ветви гиперболы \(y=\frac1x\), но очень круто уходящие вверх и вниз около оси \(Oy\).

9. \[ \sqrt[3]{7-\sqrt{17}}\cdot\sqrt[3]{7+\sqrt{17}} =\sqrt[3]{(7-\sqrt{17})(7+\sqrt{17})} \] \[ =\sqrt[3]{49-17} =\sqrt[3]{32} =2\sqrt[3]{4}. \]

Ответ: \(2\sqrt[3]{4}\) (или \(\sqrt[3]{32}\)).

10. Упрощаем выражение: \[ \frac{a^{\frac32}-a^{\frac12}b}{a^{\frac12}-b^{\frac12}} = \frac{\sqrt a(a-b)}{\sqrt a-\sqrt b} \] \[ = \frac{\sqrt a(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)}{\sqrt a-\sqrt b} = \sqrt a(\sqrt a+\sqrt b) = a+\sqrt{ab}. \]

Подставляем \(a=2\), \(b=12{,}5\): \[ a+\sqrt{ab}=2+\sqrt{2\cdot12{,}5} =2+\sqrt{25} =2+5=7. \]

Ответ: 7.

Задание 1. Функция: \[ f(x)=\frac{x}{\sqrt{x+6{,}7}}. \]

Решение. Корень стоит в знаменателе, поэтому подкоренное выражение должно быть строго положительным: \[ x+6{,}7>0 \quad\Rightarrow\quad x>-6{,}7. \] Значит, область определения функции: \[ (-6{,}7;+\infty). \]

Проверяем варианты:

• \(1>-6{,}7\) — принадлежит;
• \(0>-6{,}7\) — принадлежит;
• \(-3>-6{,}7\) — принадлежит;
• \(-7<-6{,}7\) — не принадлежит.

При \(x=-7\) под корнем получается \(-7+6{,}7=-0{,}3<0\), поэтому выражение не имеет смысла.

Ответ: Г — \(-7\).

Варіант 1, завдання 2

Коротка відповідь: В.

Функція є парною, якщо її область визначення симетрична відносно нуля і виконується умова \[ f(-x)=f(x). \]

Перевіримо варіант В: \[ f(x)=x^2+1, \] \[ f(-x)=(-x)^2+1=x^2+1=f(x). \]

Отже, функція \(y=x^2+1\) є парною.

Для порівняння:

• \(y=x+1\): \(f(-x)=-x+1\ne f(x)\);
• \(y=\frac1x\): \(f(-x)=-\frac1x=-f(x)\), це непарна функція;
• \(y=x^2-x\): \(f(-x)=x^2+x\ne f(x)\).

Відповідь: В — \(y=x^2+1\).