Вариант №1 Найти пределы указанных функций: 1. lim x→4 (x²−16)/(3x²−16x+16)

Краткие ответы:

1. \(1\);
2. \(0\);
3. \(0\);
4. по видимому на фото знаку «+» предела нет: слева \(-\infty\), справа \(+\infty\).

1. \(\displaystyle \lim_{x\to4}\frac{x^2-16}{3x^2-16x+16}\)

При \(x=4\) получаем \(0/0\). Раскладываем на множители: \[ x^2-16=(x-4)(x+4), \] \[ 3x^2-16x+16=(x-4)(3x-4). \] Сокращаем на \(x-4\) (при \(x\to4\), \(x\ne4\)): \[ \lim_{x\to4}\frac{(x-4)(x+4)}{(x-4)(3x-4)} =\lim_{x\to4}\frac{x+4}{3x-4} =\frac{8}{8}=1. \]

2. \(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{3x^2-2x+1}{4x^3+x+3}\)

Разделим числитель и знаменатель на \(x^3\): \[ \frac{\frac{3}{x}-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^3}} {4+\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^3}} \to \frac{0}{4}=0. \] Старшая степень числителя \(2\), знаменателя \(3\), поэтому предел равен \(0\).

3. \(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+4x-1}{5x^6-3x+1}\)

Делим на \(x^6\): \[ \frac{\frac{2}{x^4}+\frac{4}{x^5}-\frac{1}{x^6}} {5-\frac{3}{x^5}+\frac{1}{x^6}} \to \frac{0}{5}=0. \] Степень числителя меньше степени знаменателя, значит предел \(0\).

4. \(\displaystyle \lim_{x\to5}\frac{\sqrt{5x}+x}{x-5}\)

При \(x=5\): \[ \sqrt{25}+5=10,\qquad x-5=0. \] Числитель не равен нулю, а знаменатель стремится к нулю. Слева \(x-5<0\), поэтому предел \(-\infty\); справа \(x-5>0\), поэтому предел \(+\infty\). Двусторонний предел не существует.

Если в задании опечатка и должен быть знак «−», то есть \[ \lim_{x\to5}\frac{\sqrt{5x}-x}{x-5}, \] то это неопределённость \(0/0\), и тогда \[ \frac{\sqrt{5x}-x}{x-5} =\frac{5x-x^2}{(x-5)(\sqrt{5x}+x)} =\frac{-x(x-5)}{(x-5)(\sqrt{5x}+x)} =\frac{-x}{\sqrt{5x}+x} \to -\frac{5}{10}=-\frac12. \]

Что запомнить:

• \(0/0\) — раскладывай на множители или умножай на сопряжённое;
• \(\infty/\infty\) — сравнивай старшие степени;
• если знаменатель стремится к нулю, а числитель нет, проверяй знаки слева и справа.