Реши задание на изображении

Ответ: \(-8\).

Ключевая идея: если квадратное уравнение с целыми коэффициентами имеет иррациональный корень \(1+\sqrt{7}\), то вторым корнем будет сопряжённое число \(1-\sqrt{7}\).

По теореме Виета для уравнения

\[ x^2+ax+b=0 \]

сумма корней равна \(-a\), а произведение равно \(b\).

Сумма корней:

\[ (1+\sqrt{7})+(1-\sqrt{7})=2 \]

Значит,

\[ -a=2 \quad\Rightarrow\quad a=-2. \]

Произведение корней:

\[ (1+\sqrt{7})(1-\sqrt{7})=1-7=-6 \]

Значит,

\[ b=-6. \]

Тогда

\[ a+b=-2+(-6)=-8. \]

Проверка: уравнение имеет вид

\[ x^2-2x-6=0, \]

его корни действительно \(1\pm\sqrt{7}\).