1. Упростите: 6√12 − 2√3

Question

реши

Расшифровка фото нейросетью:
1. Упростите: $6\sqrt{12}-2\sqrt{3}$

2. Упростите: $\sqrt{196\cdot7}-\sqrt{49\cdot7}$

3. Упростите: $7\sqrt{18}-\sqrt{2}$

4. Выполните умножение $(9+5\sqrt{17})(8-\sqrt{17})$

5. Вычислите: $(\sqrt{50}-\sqrt{72})\cdot6\sqrt{2}$

6. Упростите выражение $\sqrt{64r}-\sqrt{4r}-\sqrt{81r}$

7. Выполните умножение $(\sqrt{3}+\sqrt{6})(9\sqrt{3}-5\sqrt{6})$

8. Выполните умножение $(9-\sqrt{11})(2\sqrt{11}+1)$

9. Выполните умножение $(3\sqrt{10}+8\sqrt{6})(3\sqrt{10}-\sqrt{6})$

Answer

Краткие ответы

1. $10\sqrt{3}$

2. $7\sqrt{7}$

3. $20\sqrt{2}$

4. $31\sqrt{17}-13$

5. $-12$

6. $-3\sqrt{r}$ при $r\ge 0$

7. $12\sqrt{2}-3$

8. $17\sqrt{11}-13$

9. $42+42\sqrt{15}$

Как решать: ключевые шаги

Главные правила: $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$, а полный квадрат под корнем выносится, например $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$. После этого подобные корни складываются как подобные слагаемые.

1. $6\sqrt{12}=6\cdot 2\sqrt{3}=12\sqrt{3}$, поэтому
$$
12\sqrt{3}-2\sqrt{3}=10\sqrt{3}.
$$

2. $\sqrt{196}=14$, $\sqrt{49}=7$:
$$
14\sqrt{7}-7\sqrt{7}=7\sqrt{7}.
$$

3. $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$, значит $7\sqrt{18}=21\sqrt{2}$:
$$
21\sqrt{2}-\sqrt{2}=20\sqrt{2}.
$$

4. Раскрываем скобки и приводим подобные:
$$
(9+5\sqrt{17})(8-\sqrt{17})
=72-9\sqrt{17}+40\sqrt{17}-5\cdot 17
$$
$$
=72-85+(40-9)\sqrt{17}=31\sqrt{17}-13.
$$

5. $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$, $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$:
$$
(5\sqrt{2}-6\sqrt{2})\cdot 6\sqrt{2}
=(-\sqrt{2})\cdot 6\sqrt{2}=-6\cdot 2=-12.
$$

6. Выносим множители:
$$
\sqrt{64r}=8\sqrt{r},\quad \sqrt{4r}=2\sqrt{r},\quad \sqrt{81r}=9\sqrt{r},
$$
$$
(8-2-9)\sqrt{r}=-3\sqrt{r}.
$$

7. Раскрываем скобки:
$$
(\sqrt{3}+\sqrt{6})(9\sqrt{3}-5\sqrt{6})
=27-5\sqrt{18}+9\sqrt{18}-30
$$
$$
=-3+4\sqrt{18}=-3+4\cdot 3\sqrt{2}=12\sqrt{2}-3.
$$

8. $$
(9-\sqrt{11})(2\sqrt{11}+1)
=18\sqrt{11}+9-2\cdot 11-\sqrt{11}
=17\sqrt{11}-13.
$$

9. $$
(3\sqrt{10}+8\sqrt{6})(3\sqrt{10}-\sqrt{6})
=9\cdot 10-3\sqrt{60}+24\sqrt{60}-8\cdot 6
$$
$$
=90-48+21\sqrt{60}=42+21\cdot 2\sqrt{15}=42+42\sqrt{15}.
$$

Проверка

Полезно прикинуть ответ по приближениям. Например, $\sqrt{3}\approx 1{,}732$, тогда $10\sqrt{3}\approx 17{,}32$, и исходное выражение даёт примерно столько же. В задании 5: $\sqrt{50}\approx 7{,}071$, $\sqrt{72}\approx 8{,}485$, их разность примерно $-1{,}414$, а $6\sqrt{2}\approx 8{,}485$; произведение примерно $-12$. Такая прикидка помогает заметить потерянный множитель.