lim x→∞ (3x² − 2x + 1)/(4x² + x + 3) =

Предел равен \(\frac{3}{4}\).

На фото уже начато деление числителя и знаменателя на \(x^2\) — это правильный ход. Доведём его до конца.

Ключевая идея. При \(x\to\infty\) в многочлене главным становится слагаемое с наибольшей степенью. Здесь в числителе и знаменателе степени одинаковые — вторые, поэтому младшие слагаемые можно отбросить. Остаётся отношение \(3x^2\) к \(4x^2\), то есть \(\frac{3}{4}\).

Подробно: \[ \lim_{x\to\infty}\frac{3x^2-2x+1}{4x^2+x+3} = \lim_{x\to\infty}\frac{3-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}{4+\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}}. \] При \(x\to\infty\) величины \(\frac{2}{x}\), \(\frac{1}{x^2}\), \(\frac{1}{x}\), \(\frac{3}{x^2}\) стремятся к нулю. Поэтому \[ \frac{3-0+0}{4+0+0}=\frac{3}{4}. \]

Проверка. При \(x=1000\): \[ \frac{3\cdot1000^2-2\cdot1000+1}{4\cdot1000^2+1000+3} = \frac{2\,998\,001}{4\,001\,003}\approx0{,}7493\approx\frac34. \] Отношение действительно приближается к \(0{,}75\). Значит, ответ верный.

Чтобы решать похожие:

• если степени числителя и знаменателя равны, предел равен отношению коэффициентов при старших степенях;
• если степень числителя меньше, предел равен \(0\);
• если больше, предел бесконечен (знак смотри по старшим коэффициентам).

Например, \(\lim_{x\to\infty}\frac{5x^2+7}{2x^2-x}=\frac52\), а \(\lim_{x\to\infty}\frac{3x+1}{x^2+4}=0\).