Реши задание на изображении

Краткие ответы

1. \[ x\in(-\infty;-3]\cup\{0\}\cup\{3\} \]
2. \[ x\in(-3;0)\cup(0;3)\cup(3;+\infty) \]
3. \[ x\in(-\infty;-4)\cup(0;1)\cup(4;+\infty) \]

Как решать

№1 и №2

Сначала разложим выражение:

\[ (x^3-3x^2)(x^2-9)=x^2(x-3)^2(x+3) \]

Потому что

\[ x^3-3x^2=x^2(x-3),\qquad x^2-9=(x-3)(x+3). \]

Множители \(x^2\) и \((x-3)^2\) всегда неотрицательны. Поэтому знак всего произведения зависит от \(x+3\), но нужно учитывать нули при \(x=0\) и \(x=3\).

№1. Неравенство нестрогое:

\[ x^2(x-3)^2(x+3)\le 0 \]

Произведение отрицательно при \(x<-3\), а при \(x=-3,0,3\) равно нулю. Эти нули входят в ответ, потому что знак \(\le\).

№2. Неравенство строгое:

\[ x^2(x-3)^2(x+3)>0 \]

Нужно \(x>-3\), но \(x\ne 0\) и \(x\ne 3\), иначе произведение равно нулю.

№3

Разложим:

\[ (x^2-x)(16-x^2)=x(x-1)(4-x)(4+x) \]

Нули выражения:

\[ x=-4,\quad 0,\quad 1,\quad 4 \]

Они выколоты, потому что неравенство строгое \(<\). Определяем знак на промежутках:

Нам нужны промежутки со знаком минус:

\[ (-\infty;-4)\cup(0;1)\cup(4;+\infty) \]

Проверка: например, \(x=0{,}5\) даёт отрицательное значение, а \(x=2\) — положительное. Это совпадает с таблицей знаков.