ЗАДАНИЕ №1 Решите неравенство: (x^3 - 3x^2)(x^2 - 9) ≤ 0.

На фото три задания. Решу все — они однотипные, и на них хорошо виден метод интервалов.

Краткие ответы:

1. \(x \in (-\infty; -3] \cup \{0\} \cup \{3\}\).
2. \(x \in (-3; 0) \cup (0; 3) \cup (3; +\infty)\).
3. \(x \in (-\infty; -4) \cup (0; 1) \cup (4; +\infty)\).

Как рассуждать

Общий принцип — метод интервалов: разложить выражение на множители, найти нули и определить знак на каждом промежутке. Важно следить за кратностью корня: при чётной кратности знак не меняется.

№1. \[ (x^3 - 3x^2)(x^2 - 9)=x^2(x-3)^2(x+3). \] Нули: \(-3\), \(0\), \(3\). Множители \(x^2\) и \((x-3)^2\) неотрицательны, поэтому знак произведения совпадает со знаком \(x+3\). При \(x<-3\) произведение отрицательно, при \(x>-3\) — положительно, кроме точек \(0\) и \(3\), где оно равно нулю. Неравенство \(\le 0\) даёт \(x\le -3\) и отдельные точки \(0\), \(3\).

№2. Разложение то же. Для \(>0\) берём \(x>-3\), но исключаем \(0\) и \(3\), где произведение равно нулю.

№3. \[ (x^2 - x)(16 - x^2)=x(x-1)(4-x)(4+x). \] Корни \(-4\), \(0\), \(1\), \(4\) простые, поэтому знаки чередуются. На \(x>4\) выражение отрицательно (например, при \(x=5\)). Знаки на промежутках: \(-,+,-,+,-\). Неравенство \(<0\) — выбираем минусы.

Проверка для №3: при \(x=5\) произведение \((25-5)(16-25)<0\) — подходит; при \(x=0{,}5\) произведение \((0{,}25-0{,}5)(16-0{,}25)<0\) — тоже подходит.