Вычислите наиболее удобным способом: а) (40 – 3) · 5; б) 6 · (80 – 2); в) 95 · 317 – 85 · 317; г) 87 · 316 – 87 · 306.

3.248. Вычислите наиболее удобным способом

Краткие ответы: а) 185; б) 468; в) 3170; г) 870.

Главный принцип — распределительное свойство умножения относительно вычитания. Оно работает в две стороны: \[ a(b-c)=ab-ac \qquad\text{и}\qquad ab-ac=a(b-c). \] В пунктах а) и б) удобно раскрыть скобки, а в в) и г) — наоборот, вынести общий множитель.

а) \((40-3)\cdot 5 = 40\cdot 5 - 3\cdot 5 = 200-15 = 185\). Считать \(37\cdot 5\) в уме труднее, а \(200-15\) — легко.

б) \(6\cdot(80-2) = 6\cdot 80 - 6\cdot 2 = 480-12 = 468\). Вместо \(6\cdot 78\) считаем два «круглых» произведения.

в) Здесь общий множитель — 317, поэтому выносим его: \[ 95\cdot 317 - 85\cdot 317 = 317\cdot(95-85) = 317\cdot 10 = 3170. \] Считать \(95\cdot 317\) и \(85\cdot 317\) по отдельности долго, а разность \(95-85=10\) даёт ответ сразу.

г) Аналогично, общий множитель 87: \[ 87\cdot 316 - 87\cdot 306 = 87\cdot(316-306) = 87\cdot 10 = 870. \]

Проверка:

• \(37\cdot 5 = 185\) ✓
• \(6\cdot 78 = 468\) ✓
• \(95\cdot 317 = 30\,115\), \(85\cdot 317 = 26\,945\), разность \(3170\) ✓
• \(87\cdot 316 = 27\,492\), \(87\cdot 306 = 26\,622\), разность \(870\) ✓

Как выбирать способ. Если множитель повторяется в обоих слагаемых (или уменьшаемом и вычитаемом) — выноси его за скобки и вычисли скобку. Если скобка рядом с одним множителем — раскрой её по частям, чтобы получились «круглые» числа. В обоих случаях задача сводится к простым действиям.