Таблица 8.6. Трапеция. ABCD — трапеция. Задания 1–9.

№ 4.
\[ \angle A=40^\circ,\quad \angle B=140^\circ,\quad \angle C=105^\circ,\quad \angle D=75^\circ. \]

По рисунку \(\angle EBC=75^\circ\). Так как \(AD\parallel BC\), то
\[ \angle A+\angle B=180^\circ \Rightarrow \angle B=140^\circ. \] При \(BE\parallel CD\) и \(BC\parallel AD\) углы \(\angle EBC\) и \(\angle CDA\) равны, поэтому \(\angle D=75^\circ\). Тогда \[ \angle C=180^\circ-75^\circ=105^\circ. \]

№ 5.
\[ \angle A=\angle D=60^\circ,\qquad \angle B=\angle C=120^\circ. \]

Кратко: из отмеченных равенств \(AB=BC=CD\) и \(AC\perp CD\) получаем, что в треугольнике \(ACD\) острый угол при основании равен \(30^\circ\). Значит, угол \(D=60^\circ\), а соседний с ним угол \(C=120^\circ\). Трапеция равнобедренная, поэтому \(\angle A=60^\circ,\ \angle B=120^\circ\).

№ 6.
Пусть \(BC=a\), \(AD=b\) — верхнее и нижнее основания.

\[ AE=\frac{b-a}{2},\qquad ED=\frac{a+b}{2}. \]

Почему: в равнобедренной трапеции проекции боковых сторон на большее основание равны, поэтому \[ AE=\frac{AD-BC}{2}=\frac{b-a}{2}. \] Тогда \[ ED=AD-AE=b-\frac{b-a}{2}=\frac{a+b}{2}. \]