реши пожалуйста🙏
Сверь числа и знаки с фото.
Упражнения 288. При каких значениях \(a\) равно нулю значение дроби: а) \(\frac{a^3 - 9a}{a^2 + a - 12}\); б) \(\frac{a^5 + 2a^4}{a^3 + a + 10}\); в) \(\frac{a^5 - 4a^4 + 4a^3}{a^4 - 16}\)?
- Решите уравнение: а) \(\frac{5y^3 - 15y^2 - 2y + 6}{y^2 - 9} = 0\); б) \(\frac{3y^3 - 12y^2 - y + 4}{9y^4 - 1} = 0\); в) \(\frac{6x^3 + 48x^2 - 2x - 16}{x^2 - 64} = 0\); г) \(\frac{y^3 - 4y^2 - 6y + 24}{y^3 - 6y} = 0\).
Решил оба номера с фото.
Кратко
а) \(a=0,\,-3\); б) \(a=0\); в) \(a=0\).
а) \(y=\pm\frac{\sqrt{10}}{5}\); б) \(y=4\); в) \(x=\pm\frac{\sqrt3}{3}\); г) \(y=4\).
Главное правило
\[ \frac{P(x)}{Q(x)}=0 \iff P(x)=0\ \text{и}\ Q(x)\ne0. \]
То есть сначала находим нули числителя, а затем обязательно проверяем, не обращают ли они знаменатель в ноль.
288
а) \[ a^3-9a=a(a-3)(a+3),\qquad a^2+a-12=(a-3)(a+4). \] Знаменатель запрещает \(a=3\) и \(a=-4\). Нули числителя: \(a=0,-3,3\). Значение \(3\) отбрасываем. Ответ: \(0;-3\).
б) \[ a^5+2a^4=a^4(a+2),\qquad a^3+a+10=(a+2)(a^2-2a+5). \] Так как \(a^2-2a+5=(a-1)^2+4>0\), знаменатель равен нулю только при \(a=-2\). Нули числителя: \(0\) и \(-2\); \(-2\) не подходит. Ответ: \(0\).
в) \[ a^5-4a^4+4a^3=a^3(a-2)^2,\qquad a^4-16=(a-2)(a+2)(a^2+4). \] Запрещены \(a=2\) и \(a=-2\). Нули числителя: \(0\) и \(2\); \(2\) отбрасываем. Ответ: \(0\).
289
а) \[ 5y^3-15y^2-2y+6=(y-3)(5y^2-2),\qquad y^2-9=(y-3)(y+3). \] \(y\ne3,-3\). Нули числителя: \(y=3\) и \(y=\pm\sqrt{\frac25}\). Значение \(3\) запрещено, поэтому \[ y=\pm\sqrt{\frac25}=\pm\frac{\sqrt{10}}{5}. \]
б) \[ 3y^3-12y^2-y+4=(y-4)(3y^2-1),\qquad 9y^4-1=(3y^2-1)(3y^2+1). \] \(y\ne\pm\frac1{\sqrt3}\). Нули числителя: \(4,\ \pm\frac1{\sqrt3}\). Запрещённые значения отбрасываем. Ответ: \(y=4\).
в) \[ 6x^3+48x^2-2x-16=2(x+8)(3x^2-1),\qquad x^2-64=(x-8)(x+8). \] \(x\ne\pm8\). Нули числителя: \(-8,\ \pm\frac1{\sqrt3}\). Значение \(-8\) отбрасываем, поэтому \[ x=\pm\frac1{\sqrt3}=\pm\frac{\sqrt3}{3}. \]
г) \[ y^3-4y^2-6y+24=(y-4)(y^2-6),\qquad y^3-6y=y(y^2-6). \] \(y\ne0,\ \pm\sqrt6\). Нули числителя: \(4,\ \pm\sqrt6\). Значения \(\pm\sqrt6\) запрещены. Ответ: \(y=4\).
Проверка. Все оставленные значения дают ноль в числителе и ненулевой знаменатель. Например, в 289 г при \(y=4\) знаменатель равен \(64-24=40\ne0\). А \(y=\pm\sqrt6\) не подходят: там и числитель, и знаменатель обращаются в ноль.
Обсуждение
4 сообщенияМожешь немного по другому решить оба номера.В фото пример
Да, можно оформить через ОДЗ и группировку — как на фото. Ответы останутся прежними.
288
а) \(\frac{a^3-9a}{a^2+a-12}=0\).
ОДЗ: \(a^2+a-12\ne0\). Так как \(a^2+a-12=(a+4)(a-3)\), то \(a\ne-4,\ a\ne3\).
Числитель: \[ a^3-9a=a(a^2-9)=a(a-3)(a+3)=0, \] откуда \(a=0,\ 3,\ -3\). Значение \(3\) не входит в ОДЗ. Ответ: \(0;-3\).
б) \(\frac{a^5+2a^4}{a^3+a+10}=0\).
ОДЗ: разложим знаменатель: \[ a^3+a+10=a^3+8+a+2=(a+2)(a^2-2a+4)+(a+2)=(a+2)(a^2-2a+5). \] Так как \(a^2-2a+5=(a-1)^2+4>0\), то \(a\ne-2\).
Числитель: \[ a^5+2a^4=a^4(a+2)=0 \Rightarrow a=0,\ -2. \] \(-2\) не подходит. Ответ: \(0\).
в) \(\frac{a^5-4a^4+4a^3}{a^4-16}=0\).
ОДЗ: \[ a^4-16=(a^2-4)(a^2+4)=(a-2)(a+2)(a^2+4)\ne0 \Rightarrow a\ne\pm2. \] Числитель: \[ a^5-4a^4+4a^3=a^3(a^2-4a+4)=a^3(a-2)^2=0 \Rightarrow a=0,\ 2. \] \(2\) не подходит. Ответ: \(0\).
289
а) ОДЗ: \(y^2-9\ne0 \Rightarrow y\ne\pm3\).
Числитель: \[ 5y^3-15y^2-2y+6=(5y^3-15y^2)-(2y-6)=5y^2(y-3)-2(y-3)=(y-3)(5y^2-2). \] Тогда \(y=3\) или \(5y^2-2=0\), то есть \(y=\pm\sqrt{\frac{2}{5}}=\pm\frac{\sqrt{10}}{5}\). \(3\) не подходит. Ответ: \(\pm\frac{\sqrt{10}}{5}\).
б) ОДЗ: \[ 9y^4-1=(3y^2-1)(3y^2+1)\ne0 \Rightarrow y\ne\pm\frac{1}{\sqrt3}. \] Числитель: \[ 3y^3-12y^2-y+4=(3y^3-12y^2)-(y-4)=3y^2(y-4)-(y-4)=(y-4)(3y^2-1). \] Корни: \(y=4\), \(y=\pm\frac{1}{\sqrt3}\). Вторые не подходят. Ответ: \(4\).
в) ОДЗ: \(x^2-64\ne0 \Rightarrow x\ne\pm8\).
Числитель: \[ 6x^3+48x^2-2x-16=(6x^3+48x^2)-(2x+16)=6x^2(x+8)-2(x+8)=(x+8)(6x^2-2). \] Корни: \(x=-8\), \(x=\pm\sqrt{\frac{1}{3}}=\pm\frac{\sqrt3}{3}\). \(-8\) не подходит. Ответ: \(\pm\frac{\sqrt3}{3}\).
г) ОДЗ: \[ y^3-6y=y(y^2-6)\ne0 \Rightarrow y\ne0,\ y\ne\pm\sqrt6. \] Числитель: \[ y^3-4y^2-6y+24=(y^3-4y^2)-(6y-24)=y^2(y-4)-6(y-4)=(y-4)(y^2-6). \] Корни: \(y=4\), \(y=\pm\sqrt6\). Последние не подходят. Ответ: \(4\).
Большое спасибо❤️
Пожалуйста! За решение 289 в) почти всё верно, но в одной строчке есть ошибка в знаке:
\[ x+8=0 \quad\Rightarrow\quad x=-8, \]
а не \(x=8\). Именно \(x=-8\) не подходит по ОДЗ, потому что \(x\ne-8,\ x\ne8\).
Дальше всё правильно:
\[ 6x^2-2=0 \Rightarrow x^2=\frac{1}{3} \Rightarrow x=\pm\frac{1}{\sqrt3}=\pm\frac{\sqrt3}{3}. \]
Ответ можно записать и так:
\[ x=\pm\sqrt{\frac13}. \]
То есть итоговый ответ у тебя верный, нужно только исправить знак в строке \(x+8=0\).
