Проверочная работа 1 Какие из данных чисел являются взаимно простыми: а) 12 и 15; в) 25 и 30; б) 29 и 34; г) 72 и 73?

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ
Проверочная работа
1 Какие из данных чисел являются взаимно простыми:
а) 12 и 15; в) 25 и 30;
б) 29 и 34; г) 72 и 73?
2 Даны разложения на простые множители двух чисел:
$2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7$ и $2 \cdot 7 \cdot 11$.
Найдите их наибольший общий делитель.
3 Найдите наибольший общий делитель чисел:
а) 34 и 56; в) 102 и 204;
б) 45 и 65; г) 1005 и 960.
4 Разложите на простые множители числа 1440 и 240. Во сколько раз [неразборчиво] больше 240?
5 Дана правильная дробь $\frac{m}{15}$. Найдите все значения $m$ такие, чтобы числитель и знаменатель дроби были взаимно простыми.

Answer

Я разобрал проверочную работу на фото. Сначала краткие ответы, затем — как получается каждый.

Краткие ответы

1. б) $29$ и $34$; г) $72$ и $73$.

2. $14$.

3. а) $2$; б) $5$; в) $102$; г) $15$.

4. В $6$ раз.

5. $m=1,2,4,7,8,11,13,14$.

Как рассуждать

1. Взаимно простые числа имеют НОД, равный $1$.

$12$ и $15$ имеют общий делитель $3$;

$25$ и $30$ — общий делитель $5$;

$29$ — простое, $34=2\cdot17$, общих делителей нет;

$72$ и $73$ — соседние числа, поэтому у них нет общего делителя, кроме $1$.

2. В разложениях общие простые множители — $2$ и $7$. Берём их в наименьших степенях:
$$
НОД=2\cdot7=14.
$$

3.
а) $34=2\cdot17$, $56=2^3\cdot7$, поэтому НОД $=2$;

б) $45=3^2\cdot5$, $65=5\cdot13$, поэтому НОД $=5$;

в) $204=2\cdot102$, поэтому НОД $=102$;

г) $1005=3\cdot5\cdot67$, $960=2^6\cdot3\cdot5$, общие множители $3\cdot5$, значит НОД $=15$.

4. $$
1440=2^5\cdot3^2\cdot5,\qquad 240=2^4\cdot3\cdot5.
$$
Общие множители с наименьшими показателями дают НОД:
$$
2^4\cdot3\cdot5=240.
$$
НОК берём с наибольшими показателями:
$$
2^5\cdot3^2\cdot5=1440.
$$
Значит,
$$
1440:240=6.
$$

5. Дробь $\frac{m}{15}$ правильная, поэтому $1\le m<15$. Число $15=3\cdot5$, значит $m$ не должно делиться ни на $3$, ни на $5$. Вычёркиваем $3,5,6,9,10,12$. Остаются:
$$
m=1,2,4,7,8,11,13,14.
$$