1-й год обучения. Серия 4, текстовая логика. Задачи
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Математический кружок «Школьково» • 4–7 класс 1-й год обучения. Серия 4, текстовая логика. Задачи
Арнольд, Бенедикт и Виктор примерили по фуражке и по жилетке. И фуражки, и жилетки были трех разных цветов: красного, желтого и зеленого. Известно, что только у Арнольда цвет фуражки и жилетки совпал, Бенедикт надел желтую жилетку, а Виктор не надел ничего красного. Определите цвета фуражек и жилеток у курсантов.
Арнольд, Бенедикт, Виктор, Георгий, Дрис и Евгений соревнуются в беге. Известно, что Арнольд отстал от Бенедикта и еще двух спортсменов. Виктор финишировал после Дриса, но раньше Георгия. Дрис опередил Бенедикта, но пришел после Евгения. Кто какое место занял в этом забеге?
Лосяш написал на доске натуральное число и спросил, на что оно делится. Арнольд сказал, что оно делится на 2. Бенедикт заявил, что оно делится и на 4 тоже. Виктор утверждает, что оно делится даже на 12. А Георгий возразил, что и на 24 это число делится. Известно, что ровно трое не ошиблись. А кто ошибся?
Арнольд, Бенедикт, Виктор и Георгий увлекаются танцами, пением, а также рисуют и играют в шахматы, каждый — чем-то одним. Они встали в круг. Танцор встал напротив Арнольда рядом с певцом. Художник встал рядом с Бенедиктом, а соседями Виктора оказались Георгий и шахматист. Чем увлекается Арнольд?
В Стране смешариков внимательно следили за чемпионатом мира по футболу 2018-го года. Активные болельщики до чемпионата сделали 5 предположений, кто выйдет в финал: 1) Франция и Россия; 2) Бельгия и Хорватия; 3) Бельгия и Франция; 4) Англия и Россия; 5) Россия и Хорватия. Оказалось, что один прогноз оказался полностью неверным, а в остальных была верно названа лишь одна из команд-финалистов. Определите по этим высказываниям, кто вышел в финал чемпионата.
В ходе расследования по делу о взбесившихся хищниках был обнаружен дневник Нюши. На первой странице было написано: «В этом дневнике ровно 2 неверных утверждения». На второй странице было написано: «В этом дневнике ровно 3 неверных утверждения», на третьей — «В этом дневнике ровно 4 неверных утверждения», и т. д., на девяносто девятой — «В этом дневнике ровно 100 неверных утверждений». Ничего другого в нем не было написано. А есть ли среди этих утверждений верные, и если да, то какие?
В очередных выборах городского управления участвовали 12 кандидатов. Они провели оживлённую дискуссию, и в некоторый момент первый сказал: «До меня соврали один раз». Второй сказал: «А теперь до меня соврали дважды». Третий сказал: «А теперь до меня соврали трижды», и так далее до 12-го кандидата Совуньи, которая сказала «До меня соврали 12 раз». На этом ведущий Кар-Карыч прервал дискуссию, сообщив, что хотя бы один из кандидатов все же верно посчитал, сколько раз соврали до него. Так сколько же всего раз за время дискуссии соврали кандидаты?
Кратко
- Арнольд — красная фуражка и красный жилет; Бенедикт — зелёная фуражка и жёлтый жилет; Виктор — жёлтая фуражка и зелёный жилет.
- 1-е место — Евгений, 2-е — Дрис, 3-е — Бенедикт, 4-е — Арнольд, 5-е — Виктор, 6-е — Георгий.
- Ошибся Георгий.
- Арнольд рисует, то есть он художник.
- В финале Франция и Хорватия.
- Да, верное утверждение одно — на 97-й странице: «В этом дневнике ровно 98 неверных утверждений».
- Всего 12 раз.
Разбор
Жилет Бенедикта жёлтый. У Арнольда не может быть жёлтой пары, а зелёная пара невозможна: тогда Виктору достался бы красный жилет, а он не надевал ничего красного. Значит, у Арнольда пара красная: красная фуражка и красный жилет. Остаются жилеты: Бенедикту — жёлтый, Виктору — зелёный. Бенедикту нельзя жёлтую фуражку, иначе цвета совпадут; значит, у него зелёная фуражка, а у Виктора — жёлтая.
Из условия: \[ \text{Евгений}<\text{Дрис}<\text{Бенедикт},\qquad \text{Дрис}<\text{Виктор}<\text{Георгий}. \] Арнольд отстал от Бенедикта и ещё двух спортсменов, значит, Арнольд — 4-й. Тогда Бенедикт — 3-й, перед ним Евгений и Дрис. Остаются 5-е и 6-е места: Виктор раньше Георгия.
Здесь важна цепочка делимости: \[ 24 \Rightarrow 12 \Rightarrow 4 \Rightarrow 2. \] Если ошибиться в меньшем делителе, то автоматически окажутся неверными и утверждения про большие делители — ошибок будет больше одной. Поэтому единственный возможный вариант: число делится на \(12\), но не делится на \(24\). Например, подходит число \(12\). Значит, ошибся Георгий.
С точностью до зеркального отражения рассадка такая: \[ \text{Виктор — Георгий — Арнольд — Бенедикт}. \] Соседи Виктора — Георгий и Бенедикт, значит, Бенедикт — шахматист. Напротив Арнольда сидит Виктор, он танцор. Танцор рядом с певцом: Бенедикт занят шахматами, поэтому певец — Георгий. Художник рядом с Бенедиктом; это может быть только Арнольд, так как Виктор — танцор. Ответ: Арнольд рисует.
Подходит пара Франция — Хорватия. Проверим прогнозы:
- Франция и Россия: угадана только Франция;
- Бельгия и Хорватия: угадана только Хорватия;
- Бельгия и Франция: угадана только Франция;
- Англия и Россия: не угадано никого — это единственный полностью неверный прогноз;
- Россия и Хорватия: угадана только Хорватия.
Значит, условию удовлетворяет именно финал Франция — Хорватия.
Всего в дневнике \(99\) утверждений: от «ровно 2» до «ровно 100». Двух верных быть не может: они говорили бы о разном числе неверных утверждений. Если бы верных не было вовсе, все \(99\) утверждений были бы ложными, но тогда верным стало бы утверждение на 98-й странице: «ровно 99 неверных». Противоречие. Значит, верное утверждение ровно одно, а ложных: \[ 99-1=98. \] Это утверждение на 97-й странице, где написано «ровно 98 неверных утверждений».
Пусть до первой из этих двенадцати фраз уже было \(x\) ложных утверждений. Если \(x=0\), то до первого кандидата лжи \(0\), до второго — \(1\), до третьего — \(2\) и так далее, поэтому никто не угадает. Если \(x>1\), лжи уже слишком много, и верных тоже не будет. Остаётся \(x=1\): тогда первый сказал правду.
После этого до второго кандидата по-прежнему одна ложь, он говорит «дважды» — это ложь. До третьего уже две лжи, он говорит «трижды» — снова ложь, и так далее. Значит, ложными были 11 фраз — со 2-й по 12-ю. Плюс одна более ранняя ложь: \[ 11+1=12. \]
