обьясни мне дробби

Коротко: дробь — это запись деления, например \(\frac{a}{b}\), где \(b\neq 0\). Главное правило: числитель и знаменатель можно одновременно умножить или разделить на одно и то же ненулевое число или выражение. Сокращают только множители, а не отдельные слагаемые.

Сокращение

\[ \frac{6}{8}=\frac{3\cdot 2}{4\cdot 2}=\frac{3}{4}. \]

А вот так нельзя:

\[ \frac{x+2}{2}\neq x, \]

потому что в числителе стоит сумма, а не произведение. Зато

\[ \frac{2x+4}{2}=\frac{2(x+2)}{2}=x+2. \]

Сложение и вычитание

С одинаковыми знаменателями складываем числители:

\[ \frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}. \]

С разными знаменателями сначала приводим к общему знаменателю:

\[ \frac{2}{3}+\frac{1}{4} =\frac{8}{12}+\frac{3}{12} =\frac{11}{12}. \]

Умножение и деление

Умножение:

\[ \frac{2}{3}\cdot\frac{4}{5} =\frac{2\cdot 4}{3\cdot 5} =\frac{8}{15}. \]

Деление — это умножение на обратную дробь:

\[ \frac{2}{3}:\frac{4}{5} =\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4} =\frac{10}{12} =\frac{5}{6}. \]

Алгебраические дроби

В 9 классе чаще всего нужно разложить числитель и знаменатель на множители, сократить и записать ограничения для знаменателя:

\[ \frac{x^2-9}{x^2+3x} = \frac{(x-3)(x+3)}{x(x+3)} = \frac{x-3}{x}, \]

причём

\[ x\neq 0,\quad x\neq -3. \]

Проверка: при \(x=4\)

\[ \frac{4^2-9}{4^2+3\cdot 4} =\frac{7}{28} =\frac14, \]

и после сокращения

\[ \frac{4-3}{4}=\frac14. \]

Результат совпал. Основной принцип: разложи на множители → сократи одинаковые множители → проверь, что знаменатель не равен нулю.