Помоги решить

Question

Помоги решить

Расшифровка фото нейросетью:
Задача 5

Учитель записал на доске 5 чисел в виде произведений.

Отметьте галочками два равных числа.

☐ $2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 25 \cdot 6^{2}$
☐ $6^{4} \cdot 15$
☐ $4^{3} \cdot 3^{2} \cdot 15$
☐ $12^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}$
☐ $2^{3} \cdot 3^{4} \cdot 5^{2}$

Answer

Нужно отметить первое и четвёртое выражения:

$$
2^{2}\cdot3^{2}\cdot25\cdot6^{2}
\qquad\text{и}\qquad
12^{2}\cdot3^{2}\cdot5^{2}.
$$

Почему они равны

Перейдём к простым основаниям:

$25=5^{2}$;

$6=2\cdot3$, значит $6^{2}=2^{2}\cdot3^{2}$;

$12=2^{2}\cdot3$.

Первое выражение:

$$
2^{2}\cdot3^{2}\cdot25\cdot6^{2}
=2^{2}\cdot3^{2}\cdot5^{2}\cdot(2\cdot3)^{2}
=2^{2}\cdot3^{2}\cdot5^{2}\cdot2^{2}\cdot3^{2}
=2^{4}\cdot3^{4}\cdot5^{2}.
$$

Четвёртое выражение:

$$
12^{2}\cdot3^{2}\cdot5^{2}
=(2^{2}\cdot3)^{2}\cdot3^{2}\cdot5^{2}
=2^{4}\cdot3^{2}\cdot3^{2}\cdot5^{2}
=2^{4}\cdot3^{4}\cdot5^{2}.
$$

Получились одинаковые разложения на простые множители, поэтому числа равны. Можно проверить: оба равны $32\,400$.

Остальные варианты дают другие наборы простых множителей, например:

$$
6^{4}\cdot15=2^{4}\cdot3^{5}\cdot5,
\qquad
4^{3}\cdot3^{2}\cdot15=2^{6}\cdot3^{3}\cdot5.
$$