Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ: \(x_1=2,\quad x_2=3\).
Как решать квадратное уравнение
Уравнение уже имеет вид \(ax^2+bx+c=0\), где \[ a=1,\qquad b=-5,\qquad c=6. \]
Находим дискриминант: \[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1. \]
Так как \(D>0\), корней два: \[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} =\frac{5\pm1}{2}. \]
Вычисляем: \[ x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3. \]
Проверка: \[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0, \] \[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \] Оба корня подходят.
Принцип: для уравнения \(x^2+px+q=0\) дискриминант равен \(D=p^2-4q\). Если \(D>0\), корней два; если \(D=0\), корень один; если \(D<0\), действительных корней нет. Иногда быстрее воспользоваться теоремой Виета: \(x_1+x_2=-p\), \(x_1x_2=q\). Здесь \(x_1+x_2=5\), \(x_1x_2=6\), поэтому сразу видно: корни \(2\) и \(3\).
