106,107,108

Это практические задания на построение, поэтому готового числового ответа нет — нужно выполнить точные чертежи.

Кратко

• № 106: начертить треугольник, найти середины всех сторон и соединить каждую вершину с серединой противоположной стороны — это медианы.
• № 107: начертить треугольник и провести из каждой вершины биссектрису угла.
• № 108: в остроугольном треугольнике \(ABC\) все три высоты лежат внутри; в треугольнике \(MNP\) с тупым углом \(M\) две высоты проходят вне треугольника — их проводят к продолжениям сторон.

Как выполнить

106. Медианы

1. Начерти любой треугольник \(ABC\).
2. Измерь сторону \(BC\) и отметь её середину \(A_1\); так же найди середины \(AC\) и \(AB\).
3. Проведи отрезки \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\).

Это медианы. Все три медианы должны пересечься в одной точке внутри треугольника. Если точка пересечения «не одна», значит, середина стороны найдена неточно.

107. Биссектрисы

1. Начерти треугольник.
2. Для каждого угла измерь его величину транспортиром.
3. Раздели величину угла пополам и отложи от одной из сторон получившийся угол. Проведи отрезок от вершины до противоположной стороны.

Так нужно сделать для всех трёх углов. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке внутри него.

108. Высоты Высота — это перпендикуляр из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. Удобно использовать чертёжный угольник: одну сторону прямого угла совмещаем со стороной треугольника, а вторую проводим через нужную вершину.

• В остроугольном \(ABC\) все три высоты падают на сами стороны и лежат внутри треугольника.
• В \(MNP\) угол \(M\) тупой:
  • из \(M\) проводим перпендикуляр к \(NP\);
  • из \(N\) — перпендикуляр к прямой \(MP\), при необходимости продолжив \(MP\) за точку \(M\);
  • из \(P\) — перпендикуляр к прямой \(MN\), продолжив \(MN\) за точку \(M\).

Две последние высоты окажутся вне треугольника. Их прямые всё равно пересекутся в одной точке — это проверка правильности построения.