1. Сравните: 1) 3/11 и 2/3; 2) 5/8 и 7/16; 3) 10/21 и 3/28. 2. Вычислите: 1) 3/11 + 2/3; 2) 5/8 − 7/16; 3) 10/21 + 3/28.

Краткий ответ

1. Сравнение:

1. \(\frac{3}{11}<\frac{2}{3}\); 2) \(\frac{5}{8}>\frac{7}{16}\); 3) \(\frac{10}{21}>\frac{3}{28}\).

2. Вычисления:

1. \(\frac{3}{11}+\frac{2}{3}=\frac{31}{33}\); 2) \(\frac{5}{8}-\frac{7}{16}=\frac{3}{16}\); 3) \(\frac{10}{21}+\frac{3}{28}=\frac{7}{12}\).

Как это устроено

Главный приём один: дроби с разными знаменателями нельзя сравнивать или складывать «по частям» — их приводят к общему знаменателю (удобнее всего к наименьшему общему кратному, НОК). После этого всё решает числитель.

1. Сравнение

1) Знаменатели 11 и 3 взаимно простые, значит общий знаменатель \(11\cdot3=33\): \[\frac{3}{11}=\frac{3\cdot3}{11\cdot3}=\frac{9}{33},\qquad \frac{2}{3}=\frac{2\cdot11}{3\cdot11}=\frac{22}{33}\] \(9<22\), поэтому \(\frac{3}{11}<\frac{2}{3}\).

2) Здесь 16 делится на 8, поэтому общий знаменатель — сам 16, вторую дробь менять не нужно: \[\frac{5}{8}=\frac{5\cdot2}{8\cdot2}=\frac{10}{16}>\frac{7}{16}\] Удобно и без приведения: половина \(\frac{5}{8}\) — это \(\frac{5}{8}=0{,}625>\frac{7}{16}=0{,}4375\).

3) Раскладываем знаменатели: \(21=3\cdot7\), \(28=4\cdot7\), значит НОК \(=3\cdot4\cdot7=84\): \[\frac{10}{21}=\frac{10\cdot4}{21\cdot4}=\frac{40}{84},\qquad \frac{3}{28}=\frac{3\cdot3}{28\cdot3}=\frac{9}{84}\] \(40>9\), поэтому \(\frac{10}{21}>\frac{3}{28}\).

2. Вычисления

1) Общий знаменатель 33 (как в первом сравнении): \[\frac{3}{11}+\frac{2}{3}=\frac{9}{33}+\frac{22}{33}=\frac{31}{33}\] Дробь не сокращается: 31 — простое число, а 33 на 31 не делится.

2) Знаменатели 8 и 16, приводим первую дробь к 16: \[\frac{5}{8}-\frac{7}{16}=\frac{10}{16}-\frac{7}{16}=\frac{3}{16}\] Дробь уже несократимая.

3) Общий знаменатель 84 (НОК из третьего сравнения): \[\frac{10}{21}+\frac{3}{28}=\frac{40}{84}+\frac{9}{84}=\frac{49}{84}=\frac{7}{12}\] Сократили на 7: \(49:7=7\), \(84:7=12\). Ответ \(\frac{7}{12}\) — правильная дробь, дальше не сокращается.

Проверка

• \(\frac{31}{33}\approx0{,}939\), а \(\frac{3}{11}+\frac{2}{3}\approx0{,}273+0{,}667=0{,}940\) — сходится.
• Для вычитания работает обратная проверка: \(\frac{3}{16}+\frac{7}{16}=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}\) — вернулись к уменьшаемому.
• \(\frac{7}{12}\approx0{,}583\), а \(\frac{10}{21}\approx0{,}476\) и \(\frac{3}{28}\approx0{,}107\); их сумма \(\approx0{,}583\) — верно.

Заметь: в обоих номерах одни и те же пары дробей, поэтому НОК знаменателей находится одинаково (33, 16, 84). Так что принцип для похожего задания один: найди НОК знаменателей → приведи обе дроби → сравни или сложи/вычти числители → сократи результат.