90. Чему равно давление гелия на стенки сосуда ёмкостью 10 л, если в нём находится 4,5·10^30 молекул?

На фото две задачи — 90 и 91. Решаю обе.

Краткий ответ

• 90. \(p \approx 1{,}6\cdot10^{12}\ \text{Па}\);
• 91. \(N \approx 4{,}4\cdot10^{22}\) молекул.

Общая формула

Давление идеального газа: \[ p=\frac13 n m_0 \overline{v^2}, \] где \(n=\frac{N}{V}\) — концентрация молекул. Поэтому: \[ p=\frac{N m_0 \overline{v^2}}{3V}. \]

Отсюда, если нужно найти число молекул: \[ N=\frac{3pV}{m_0 \overline{v^2}}. \]

Задача 90

Переводим объём: \[ V=10\ \text{л}=10\cdot10^{-3}\ \text{м}^3=10^{-2}\ \text{м}^3. \]

Подставляем данные: \[ p=\frac{4{,}5\cdot10^{30}\cdot6{,}64\cdot10^{-27}\cdot1{,}6\cdot10^{6}} {3\cdot10^{-2}} \approx1{,}6\cdot10^{12}\ \text{Па}. \]

Ответ задачи 90: \[ p\approx1{,}6\cdot10^{12}\ \text{Па}. \]

Задача 91

Используем: \[ N=\frac{3pV}{m_0\overline{v^2}}. \]

Подставляем: \[ N=\frac{3\cdot1{,}5\cdot10^{5}\cdot1{,}5\cdot10^{-3}} {48{,}1\cdot10^{-27}\cdot3{,}2\cdot10^{5}} \approx4{,}39\cdot10^{22}. \]

Ответ задачи 91: \[ N\approx4{,}4\cdot10^{22}\ \text{молекул}. \]

Как понимать

Главное — не путать среднюю скорость \(v\) и средний квадрат скорости \(\overline{v^2}\). В условии уже дан именно средний квадрат скорости, поэтому его не нужно ещё раз возводить в квадрат. Ещё важно сразу переводить литры в кубические метры: \(1\ \text{л}=10^{-3}\ \text{м}^3\).

Проверка размерности для давления: \[ \frac{1}{\text{м}^3}\cdot\text{кг}\cdot\frac{\text{м}^2}{\text{с}^2} =\frac{\text{кг}}{\text{м}\cdot\text{с}^2} =\text{Па}. \]