№1. Что такое медиана? Сколько медиан можно провести в треугольнике?
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
№1. Что такое медиана? Сколько медиан можно провести в треугольнике? №2. Что такое биссектриса? Сколько биссектрис можно провести в треугольнике? №3. Изобразите рисунок в тетради, соответствующий данному условию
- \(AM\) — медиана треугольника \(ABC\). [Рисунок: треугольник \(ABC\); \(B\) сверху слева, \(C\) справа, \(A\) внизу; на стороне \(BC\) отмечена точка \(M\), проведён отрезок \(AM\).]
- \(KE\) — медиана треугольника \(PKM\). [Рисунок: треугольник \(PKM\); \(P\) сверху слева, \(K\) внизу слева, \(M\) внизу справа; на стороне \(PM\) отмечена точка \(E\), проведён отрезок \(KE\).]
- \(BC\) — биссектриса треугольника \(BFP\). [Рисунок: треугольник \(BFP\); \(F\) слева сверху, \(B\) справа сверху, \(P\) внизу; на стороне \(FP\) отмечена точка \(C\), проведён отрезок \(BC\).]
- \(ML\) — биссектриса треугольника \(OMN\). [Рисунок: треугольник \(OMN\); \(M\) слева, \(N\) сверху, \(O\) справа внизу; на стороне \(ON\) отмечена точка \(L\), проведён отрезок \(ML\).] №4.
- По данным рисунка определите медиану, биссектрису и высоту треугольника \(PQR\). [Рисунок: треугольник \(PQR\); \(R\) вверху, \(P\) внизу слева, \(Q\) внизу справа; на стороне \(PR\) отмечена точка \(M\), на стороне \(QR\) — точка \(A\), на стороне \(PQ\) — точка \(H\); проведены отрезки \(QM\), \(PA\), \(RH\).] медиана ______ биссектриса ______ высота ______ №5.
- Нарисуйте треугольник \(MPK\) с тупым углом \(P\) (см. рис. 18) и проведите из вершины тупого угла медиану, биссектрису и высоту. [Рисунок: треугольник \(MPK\); \(P\) вверху, \(M\) слева, \(K\) справа; угол \(P\) тупой.] Рис. 18.
Кратко
- Медиана — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. В треугольнике можно провести три медианы — по одной из каждой вершины; все они пересекаются в одной точке.
- Биссектриса треугольника — отрезок от вершины до противолежащей стороны, который делит угол при этой вершине пополам. В треугольнике три биссектрисы — по одной из каждого угла; все они пересекаются в одной точке.
№3. На фото видны пункты 1–4. При построении важно отмечать само свойство:
- \(AM\) — медиана \(\triangle ABC\): \(M\) лежит на \(BC\), причём \(BM=MC\).
- \(KE\) — медиана \(\triangle PKM\): \(E\) лежит на \(PM\), причём \(PE=EM\).
- \(BC\) — биссектриса \(\triangle BFP\): \(C\) лежит на \(FP\), причём \(\angle FBC=\angle CBP\).
- \(ML\) — биссектриса \(\triangle OMN\): \(L\) лежит на \(ON\), причём \(\angle OML=\angle LMN\).
№4. По обозначениям на рисунке:
- медиана — \(QM\);
- биссектриса — \(PA\);
- высота — \(RH\).
Проверка: \(QM\) идёт к середине \(PR\); \(PA\) делит угол \(QPR\) пополам; \(RH\perp PQ\).
№5. Нарисуйте \(\triangle MPK\) так, чтобы \(\angle P>90^\circ\). Из вершины \(P\):
- медиана: отметьте середину \(MK\) — точку \(A\), проведите \(PA\);
- биссектриса: проведите биссектрису \(\angle MPK\) до пересечения с \(MK\) в точке \(B\);
- высота: опустите перпендикуляр \(PH\) на \(MK\), отметьте \(\angle PHK=90^\circ\).
На рис. 18 стороны \(PM\) и \(PK\) не равны, поэтому три отрезка из \(P\) различны. Если бы треугольник был равнобедренным с \(PM=PK\), медиана, биссектриса и высота из \(P\) могли бы совпасть.
Что запомнить: у медианы на стороне получаются равные отрезки, у биссектрисы — равные углы, у высоты — прямой угол.
