Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, у которого внутренние углы равны, если сумма его внешних углов с одним из внутренних углов равна 510 градусов?

Ответ: 12 сторон.

Как рассуждать:

1. У любого выпуклого многоугольника сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, равна \(360^\circ\).
2. По условию сумма всех внешних углов и одного внутреннего равна \(510^\circ\). Значит, этот внутренний угол равен: \[ 510^\circ-360^\circ=150^\circ. \]
3. Тогда каждый внешний угол равен: \[ 180^\circ-150^\circ=30^\circ. \]
4. Так как внутренние углы равны, внешние углы тоже равны. Поэтому число сторон: \[ n=\frac{360^\circ}{30^\circ}=12. \]

Проверка: у правильного 12-угольника каждый внутренний угол равен \[ \frac{(12-2)\cdot180^\circ}{12}=150^\circ, \] а сумма внешних углов — \(360^\circ\). В сумме с одним внутренним: \(360^\circ+150^\circ=510^\circ\).