5.22 вг
Сверь числа и знаки с фото.
5.22 в) \(\begin{cases} y = -\frac{8}{x}, \\ x = 2 - y; \end{cases}\) г) \(\begin{cases} xy = 6, \\ 3x - 2y = 0. \end{cases}\)
Краткий ответ
в) \((4;-2)\), \((-2;4)\);
г) \((2;3)\), \((-2;-3)\).
Как решали: метод подстановки
- Выражаем одну переменную через другую.
- Подставляем во второе уравнение.
- Решаем уравнение с одной переменной.
- Находим вторую переменную и записываем пары.
- Проверяем.
в) \[ \begin{cases} y=-\frac{8}{x},\\ x=2-y. \end{cases} \] Из второго уравнения \(y=2-x\). Подставляем в первое: \[ 2-x=-\frac{8}{x},\qquad x\ne0. \] Умножаем на \(x\): \[ 2x-x^2=-8 \;\Rightarrow\; x^2-2x-8=0. \] \[ x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{4+32}}{2}=\frac{2\pm6}{2}. \] Значит, \(x_1=4\), \(x_2=-2\). Тогда \(y=2-x\): \[ y_1=-2,\qquad y_2=4. \]
г) \[ \begin{cases} xy=6,\\ 3x-2y=0. \end{cases} \] Из второго уравнения \(2y=3x\), то есть \(y=\frac{3x}{2}\). Подставляем: \[ x\cdot\frac{3x}{2}=6 \;\Rightarrow\; 3x^2=12 \;\Rightarrow\; x^2=4. \] Значит, \(x_1=2\), \(x_2=-2\). Тогда \(y=\frac{3x}{2}\): \[ y_1=3,\qquad y_2=-3. \]
Проверка
в) \((4;-2)\): \(y=-\frac{8}{4}=-2\), \(x=2-(-2)=4\). Верно.
\((-2;4)\): \(y=-\frac{8}{-2}=4\), \(x=2-4=-2\). Верно.
г) \((2;3)\): \(2\cdot3=6\), \(3\cdot2-2\cdot3=0\). Верно.
\((-2;-3)\): \((-2)(-3)=6\), \(3(-2)-2(-3)=0\). Верно.
Что важно понять
Метод подстановки удобен, когда из одного уравнения легко выразить переменную. После решения обязательно учитывай ОДЗ — в пункте в) это \(x\ne0\) — и подставляй найденные пары обратно. В похожих системах выбирай ту переменную, которую проще выразить: например, в г) можно было взять \(x=\frac{2y}{3}\), ответ получился бы тем же.
Обсуждение
5 сообщенийА координатные прямые начертить
Не обязательно. В номере 5.22 нужно решить системы, а не строить графики. Координатные оси \(Ox\) и \(Oy\) нужны только если учитель отдельно требует графическое решение.
Если графики всё-таки нужны, то точки пересечения — это и есть решения:
а) гипербола \(y=-\frac{3}{x}\) и прямая \(y=-x-2\):
\[ (1;-3),\quad (-3;1) \]б) гипербола \(y=\frac{4}{x}\) и прямая \(y=2x-2\):
\[ (2;2),\quad (-1;-4) \]в) гипербола \(y=-\frac{8}{x}\) и прямая \(y=2-x\):
\[ (4;-2),\quad (-2;4) \]г) гипербола \(y=\frac{6}{x}\) и прямая \(y=\frac{3}{2}x\):
\[ (2;3),\quad (-2;-3) \]
То есть если решаешь подстановкой — чертить оси не нужно. Если учитель просит график — чертишь оси, оба графика и отмечаешь найденные точки пересечения.
По фото видно, что в задании в), г) системы другие, чем в моём прошлом ответе. Исправляю — ниже решение именно по изображению.
в)
\[ \begin{cases} (x-3)^2+(y+1)^2=9,\\ y=-1. \end{cases} \]
Подставляем \(y=-1\) в первое уравнение:
\[ (x-3)^2+(-1+1)^2=9 \]
\[ (x-3)^2=9 \]
\[ x-3=\pm3 \]
Значит:
\[ x=0 \quad \text{или} \quad x=6. \]
Ответ:
\[
(0;-1),\quad (6;-1).
\]
г)
\[ \begin{cases} (x+2)^2+(y-2)^2=16,\\ x=2. \end{cases} \]
Подставляем \(x=2\):
\[ (2+2)^2+(y-2)^2=16 \]
\[ 16+(y-2)^2=16 \]
\[ (y-2)^2=0 \]
\[ y=2. \]
Ответ:
\[
(2;2).
\]
Если нужно решать графически, то:
- в) окружность с центром \((3;-1)\) и радиусом \(3\), прямая \(y=-1\) — две точки пересечения;
- г) окружность с центром \((-2;2)\) и радиусом \(4\), прямая \(x=2\) — одна точка касания.
Но при решении подстановкой чертить координатные оси не обязательно.
1006
